Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$z$}$ ein Berührpunkt von $ \mbox{$\overline{M}$}$ . Zu zeigen ist, daß $ \mbox{$z\in\overline{M}$}$ . Es sei $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ . Dann gilt
    $ \mbox{$\displaystyle B_{\varepsilon/2}(z)\cap\overline{M} \;\neq\; \emptyset\;, $}$
    d.h. es gibt ein $ \mbox{$y\in\overline{M}$}$ mit $ \mbox{$d(z,y)<\varepsilon/2$}$ . Dann ist $ \mbox{$y$}$ ein Berührpunkt von $ \mbox{$M$}$ , d.h. es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle B_{\varepsilon/2}(z)\cap M \;\neq\; \emptyset\;, $}$
    d.h. es gibt ein $ \mbox{$x\in M$}$ mit $ \mbox{$d(x,y)<\varepsilon/2$}$ . Daraus folgt
    $ \mbox{$\displaystyle d(x,z) \;\le\; d(x,y)+d(y,z) \;<\; \varepsilon\;, $}$
    d.h. es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle x\in B_\varepsilon(z)\cap M\;. $}$
    Also ist $ \mbox{$B_\varepsilon(z)\cap M\neq\emptyset$}$ . Aus der Beliebigkeit von $ \mbox{$\varepsilon$}$ folgt, daß $ \mbox{$z$}$ ein Berührpunkt von $ \mbox{$M$}$ ist, d.h. es gilt $ \mbox{$z\in\overline{M}$}$ .
  2. $ \mbox{$\Rightarrow$}$ :
    Es sei $ \mbox{$M$}$ offen. Es sei $ \mbox{$z\in X$}$ ein Berührpunkt von $ \mbox{$M^c:=X\setminus M$}$ . Zu zeigen ist, daß $ \mbox{$z\in M^c$}$ . Wir nehmen also an, daß $ \mbox{$z\not\in M^c$}$ . Dann folgt $ \mbox{$z\in M$}$ . Da $ \mbox{$M$}$ offen ist, gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ so, daß $ \mbox{$B_\varepsilon(z)\subseteq M$}$ . Demnach ist
    $ \mbox{$\displaystyle B_\varepsilon(z)\cap M^c \;=\; \emptyset\;. $}$
    Dies widerspricht aber der Tatsache, daß $ \mbox{$z$}$ ein Berührpunkt von $ \mbox{$M^c$}$ ist. Also war die Annahme falsch, und es gilt $ \mbox{$z\in M^c$}$ .
    $ \mbox{$\Leftarrow$}$ :
    Es sei $ \mbox{$M^c:=X\setminus M$}$ abgeschlossen. Es sei $ \mbox{$z\in M$}$ . Dann ist $ \mbox{$z\not\in M^c$}$ . Da $ \mbox{$M^c$}$ abeschlossen ist, ist $ \mbox{$z$}$ kein Berührpunkt von $ \mbox{$M^c$}$ . Daher gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle B_\varepsilon(z)\cap M^c \;=\; \emptyset\;. $}$
    Daraus folgt aber $ \mbox{$B_\varepsilon(z)\subseteq M$}$ . Daher ist $ \mbox{$M$}$ offen.

  3. Es sei $ \mbox{$(O_i)_{i\in I}$}$ eine Familie offener Mengen in $ \mbox{$X$}$ . Es sei $ \mbox{$z\in\bigcup_{i\in I}O_i$}$ . Dann gibt es ein $ \mbox{$i_0\in I$}$ so, daß $ \mbox{$z\in O_{i_0}$}$ . Da $ \mbox{$O_{i_0}$}$ offen ist, gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ so, daß $ \mbox{$B_\varepsilon(z)\subseteq O_{i_0}$}$ . Dann folgt aber auch
    $ \mbox{$\displaystyle B_\varepsilon(z) \;\subseteq\; \bigcup_{i\in I} O_i\;. $}$
    Demnach ist $ \mbox{$\bigcup_{i\in I}O_i$}$ offen.

  4. Es seien $ \mbox{$O_1,\ldots,O_n$}$ offene Mengen. Es sei $ \mbox{$z\in O_1\cap\ldots\cap O_n$}$ . Für jedes $ \mbox{$\nu\in\{1,\ldots,n\}$}$ gilt $ \mbox{$z\in O_\nu$}$ , und $ \mbox{$O_\nu$}$ ist offen; also gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon_\nu>0$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle B_{\varepsilon_\nu}(z) \;\subseteq\; O_\nu\;. $}$
    Man setze nun $ \mbox{$\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\}$}$ . Dann folgt
    $ \mbox{$\displaystyle B_\varepsilon(z) \;\subseteq\; B_{\varepsilon_1}(z)\cap\ldots\cap B_{\varepsilon_n}(z) \;\subseteq\; O_1\cap\ldots\cap O_n\;. $}$
    Also ist $ \mbox{$O_1\cap\ldots\cap O_n$}$ offen.
  5. Es sei $ \mbox{$(A_i)_{i\in I}$}$ eine Familie abeschlossener Mengen in $ \mbox{$X$}$ . Nach 1. ist dann $ \mbox{$X\setminus A_i$}$ offen für alle $ \mbox{$i\in I$}$ . Nach 2. und der Regel von de Morgan ist dann
    $ \mbox{$\displaystyle \bigcup_{i\in I}(X\setminus A_i) \;=\; X\setminus\bigcap_{i\in I}A_i $}$
    offen. Nach 1. ist schließlich $ \mbox{$\bigcap_{i\in I}A_i$}$ abgeschlossen.
  6. Das folgt analog unter Verwendung von 1., 3. und der Regel von de Morgan.
  7. Es sei
    $ \mbox{$\displaystyle D \;:=\; \bigcap_{\renewedcommand{arraystretch}{0.7} \b... ...tstyle A\;\text{abgeschlossen}\\ \scriptstyle A\supseteq M\end{array}} A\;. $}$
    Nach 5. ist $ \mbox{$D$}$ eine abgeschlossene Menge, und es gilt offenbar $ \mbox{$D\supseteq M$}$ . Daraus folgt auch, daß
    $ \mbox{$\displaystyle D \;\supseteq\; \overline{M}\;, $}$
    denn jeder Berührpunkt von $ \mbox{$M$}$ ist auch Berührpunkt von $ \mbox{$D$}$ und liegt daher in $ \mbox{$D$}$ . Andererseits ist $ \mbox{$\overline{M}$}$ eine abgeschlossene Menge, und es gilt $ \mbox{$\overline{M}\supseteq M$}$ . Also nimmt $ \mbox{$\overline{M}$}$ an der Durchschnittsbildung in der Defintion von $ \mbox{$D$}$ teil, und es folgt
    $ \mbox{$\displaystyle D \;\subseteq\; \overline{M}\;. $}$
    Daraus folgt die Behauptung.