Lösung.

  1. Zur Berechnung des Konvergenzradius der Potenzreihe betrachten wir zunächst
    $ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (2z- \text{i})^k \;=\; \sum_{k=1}^{... ... \, \sum_{k=1}^{\infty} 2^k \cdot \left(z - \frac{\text{i}}{2}\right)^k\;. $}$
    Damit ergibt sich der Konvergenzradius zu
    $ \mbox{$\displaystyle R \;=\; \left(\varlimsup_{k\to\infty} \sqrt[k] {\vert 2\vert^k}\right)^{-1} \;=\; 2^{-1} \;=\; \frac{1}{2}\;. $}$

  2. Es sei $ \mbox{$a_k:=\frac{1}{2^k\cdot k}$}$ . Der Konvergenzradius der Reihe $ \mbox{$\sum_{k=1}^{\infty} a_k z^k$}$ ist
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} R &=& \displaystyle\lim_{k\to\infty... ...infty} \left(2 + \frac{2}{k}\right)\vspace*{2mm}\\ &=& 2\;. \end{array} $}$