Lösung.

  1. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle a^{c+d} \;=\; e^{(c+d){\rm Log}\, a} \;=\; e^{c \cdot {\rm Log}\, a} \cdot e^{d \cdot {\rm Log}\, a} \;=\; a^c \cdot a^d\;. $}$
  2. Falsch, denn ist zum Beispiel $ \mbox{$\ a = b = e^{\,\text{i}3\pi/4}$}$ , dann folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{l} \text{Log}(ab) \;=\; \text{Log } e^{\... ...frac{3}{4}\;\pi\,\text{i} \;=\; \dfrac{3\pi}{2}\,\text{i}\;. \end{array} $}$

  3. Falsch, denn es gilt zum Beispiel
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} \text{Log }(e^{2\pi\,\text{i}}) \;=... ...) \;=\; 0 & \ne & 2\pi\,\text{i} \;=\; 2\cdot\text{Log}(-1)\;. \end{array} $}$

    Dies zeigt, daß die Gleichung $ \mbox{$\text{Log}(a^c)=c\cdot\text{Log }a$}$ selbst bei $ \mbox{$a>0$}$ , $ \mbox{$c\in\mathbb{C}$}$ oder auch bei $ \mbox{$a<0$}$ , $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ nicht zu gelten braucht.