Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$\varphi:=\text{Arg }a$}$ und $ \mbox{$r:=\vert a\vert$}$ . Dann gilt
    $ \mbox{$\displaystyle a \;=\; r\cdot e^{\,\text{i}\varphi}\;. $}$
    Wir setzen $ \mbox{$z=s\cdot e^{\,\text{i}\vartheta}$}$ an und berechnen
    $ \mbox{$\displaystyle z^n \;=\; s^n\cdot e^{\,\text{i}\vartheta n}\;. $}$
    Also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} z^n\;=\; a &\iff& s^n=r\;,\;\; n\v... ...i k}{n}\;\;\;\text{f\uml ur ein}\;\;\; k\in\{0,\ldots,n-1\}\;. \end{array} $}$
    Es gibt also genau $ \mbox{$n$}$ verschiedene Lösungen der Gleichung $ \mbox{$z^n=a$}$ , und diese sind gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle z \;=\; \sqrt[n]{\vert a\vert}\cdot e^{\,\text{i}\left(\text{Arg }a+2\pi k\right)/n}\;,\;\; k\in\{0,\ldots,n-1\}\;. $}$
  2. Es gilt $ \mbox{$\vert 1\vert=1$}$ und $ \mbox{$\text{Arg }1=0$}$ . Nach 1. gibt es also genau acht Lösungen der Gleichung $ \mbox{$z^8=1$}$ , nämlich
    $ \mbox{$\displaystyle z \;=\; e^{\,\text{i}\pi k/4}\;,\;\; k\;\in\{0,\dots,7\}\;. $}$
    Setzt man diese acht Werte für $ \mbox{$k$}$ ein, so vereinfachen sich die Lösungen zu
    $ \mbox{$\displaystyle 1\;,\; \frac{1+\text{i}}{\sqrt{2}}\;,\; \text{i}\;,\; \... ...c{-1-\text{i}}{\sqrt{2}}\;,\; -\text{i}\;,\; \frac{1-\text{i}}{\sqrt{2}}\;. $}$
    Es handelt sich also um die Ecken des regelmäßigen Achtecks.




    \includegraphics[width=5cm]{achteck.eps}