Lösung.

Es sei $ \mbox{$z = x+\text{i}y $}$ mit $ \mbox{$\ x,y \in \mathbb{R}$}$ .

Dann gilt

  1. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} e^{\bar{z}} &=& e^{x-\text{i}y} \;=... ... \;=\; \overline{ e^{x + \text{i}y}} \;=\; \overline{e^z}\;. \end{array} $}$
  2. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left\vert e^z\right\vert &=& \left... ...\sin y)^2} \vspace*{2mm}\\ &=& e^x \;=\; e^{\text{Re }z}\;. \end{array} $}$
  3. Für $ \mbox{$a>0$}$ gilt unter Verwendung von 2.
    $ \mbox{$\displaystyle \vert a^z\vert \;=\; \left\vert e^{\log a \cdot (x + \text{i}y)}\right\vert \;=\; e^{x \log a} \;=\; a^x \;=\; a^{\text{Re }z}\;. $}$