Lösung.

  1. Für $ \mbox{$z=x+\text{i}\,y\in\mathbb{C}$}$ beliebig wird
    $ \mbox{$\displaystyle u(x,y) \;=\; \text{Re }f(z) \;=\; x\;,\;\; v(x,y)\;=\; \text{Im }f(z) \;=\; 0\;. $}$
    Daraus folgt
    $ \mbox{$\displaystyle u_x(x,y) \;=\; 1 \;\ne\; 0 \;=\; v_y(x,y)\;. $}$
    Also sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in keinem Punkt erfüllt, d.h. $ \mbox{$f$}$ ist in keinem Punkt komplex differenzierbar.

  2. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Re }z \;=\; \frac{z+\bar{z}}{2}\;. $}$
    Wäre $ \mbox{$z\mapsto\bar{z}$}$ komplex differenzierbar in einem Punkt $ \mbox{$z_0\in\mathbb{C}$}$ , so wäre nach den Differentiationsregeln auch $ \mbox{$z\mapsto \text{Re }z$}$ komplex differenzierbar in $ \mbox{$z_0$}$ , im Widerspruch zu 1. Daher ist $ \mbox{$z\mapsto\bar{z}$}$ in keinem Punkt komplex differenzierbar.

    Alternativ zeige man, daß die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in keinem Punkt gelten.

  3. Für $ \mbox{$z=x+\text{i}\,y\in\mathbb{C}$}$ beliebig wird
    $ \mbox{$\displaystyle u(x,y) \;:=\; \text{Re }f(z) \;=\; \sqrt{x^2+y^2}\;,\;\; v(x,y)\;:=\; \text{Im }f(z) \;=\; 0\;. $}$
    Für $ \mbox{$z\ne 0$}$ ist
    $ \mbox{$\displaystyle u_x(x,y) \;=\; \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \;\ne\; 0 \;=\; v_y(x,y)\;. $}$
    Also sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im Punkt $ \mbox{$z\ne 0$}$ nicht erfüllt, und $ \mbox{$f$}$ ist in $ \mbox{$z\ne 0$}$ nicht komplex differenzierbar.

    Im Punkt $ \mbox{$z=0$}$ existiert der Grenzwert

    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{z\to 0}\dfrac{f(z)-f(0)}{z-0} \;=\; \lim_{z\to 0}\dfrac{\vert z\vert}{z} $}$
    nicht, da die Folgen $ \mbox{$(\frac{1}{n})_{n\in\mathbb{N}}$}$ bzw. $ \mbox{$(\frac{-1}{n})_{n\in\mathbb{N}}$}$ jeweils gegen $ \mbox{$0$}$ konvergieren, andererseits aber gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\left\vert\frac{1}{n}\right\vert... ...;\lim_{n\to\infty}\frac{\left\vert\frac{-1}{n}\right\vert}{\frac{-1}{n}}\;. $}$
    Folglich ist $ \mbox{$f$}$ in keinem Punkt komplex differenzierbar.