Lösung.

Die Exponentialfunktion

$ \mbox{$\displaystyle \exp: \; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; -\pi<\text{Re }z<\pi\} \;\to\; \mathbb{C}_- $}$
ist bijektiv und holomorph, und ihre Ableitung verschwindet nicht. Daher ist auch die Umkehrfunktion
$ \mbox{$\displaystyle \text{Log}: \; \mathbb{C}_-\;\to\; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; -\pi<\text{Re }z<\pi\} $}$
holomorph, und es gilt
$ \mbox{$\displaystyle \text{Log}'\;z \;=\; \frac{1}{\exp'(\text{Log }z)} \;=\; \frac{1}{\exp(\text{Log }z)} \;=\; \frac{1}{z} $}$
für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}_-$}$ .