Lösung.

Wir nehmen an, es gäbe ein $ \mbox{$\zeta \in [1,\text{i}]$}$ so, daß

$ \mbox{$\displaystyle \frac{f(\text{i})-f(1) }{\text{i}-1}\;=\;f'(\zeta)\;. $}$
Es gilt $ \mbox{$\zeta=t+(1-t)\text{i}$}$ für ein $ \mbox{$t \in [0,1]$}$ . Es folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{i}&=& \dfrac{\text{i}^3-1}{\tex... ...zeta)\;=\; 3\zeta^2 \vspace{2mm}\\ &=&3(2t-1+\text{i}t(1-t))\;. \end{array}$}$
Daraus folgt $ \mbox{$t=\dfrac{1}{2}$}$ und $ \mbox{$\dfrac{3}{4}=1$}$ . Damit ist die Annahme zum Widerspruch geführt worden, d.h. es gibt kein solches $ \mbox{$\zeta$}$ .