Aufgabe.

Es sei $ \mbox{$\tan z:=\frac{\sin z}{\cos z}$}$ auf $ \mbox{$G:=\{z\in\mathbb{C}\;\vert\;-\frac{\pi}{2}<\text{Re }z<\frac{\pi}{2}\}$}$ . Betrachte die Funktionen $ \mbox{$f(z):=e^{2\text{i}z}$}$ und $ \mbox{$g(w):=-\text{i}\,\frac{w-1}{w+1}$}$ . Zeige.

  1. $ \mbox{$\tan'=1+\tan^2.$}$
  2. $ \mbox{$\tan z=g(f(z)),\ \forall z\in G.$}$
  3. $ \mbox{$\tan$}$ bildet $ \mbox{$G$}$ bijektiv auf $ \mbox{$H:=\mathbb{C}\setminus\{\text{i}y\vert\ y\in\mathbb{R},\; \vert y\vert\geq 1\}$}$ ab.
  4. $ \mbox{$\tan$}$ besitzt eine holomorphe Umkehrfunktion $ \mbox{$\arctan:H\to G$}$ mit $ \mbox{$\arctan'(z)=\frac{1}{1+z^2}$}$ .
  5. $ \mbox{$\arctan(z)=\frac{1}{2\text{i}}\,\textrm{Log }\frac{-z+\text{i}}{z+\text{i}},\ \forall z\in H$}$ .
  6. $ \mbox{$\arctan(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}\;z^{2k+1},\ \forall z\in B_1(0).$}$