Lösung.

Gemäß den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen muß gelten

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcl} v_x &\overset{!}=& -u_y &=& e^x(x\s... ...\\ v_y &\overset{!}=& u_x &=& e^x(x\cos y- y\sin y + \cos y)\;. \end{array}$}$
Integration von $ \mbox{$u_x$}$ nach $ \mbox{$y$}$ liefert den Ansatz
$ \mbox{$\displaystyle v(x,y)\;=\; e^x(x\sin y +y \cos y) + r(x) $}$
mit einer differenzierbaren Funktion $ \mbox{$r$}$ . Die Berechnung von $ \mbox{$v_x$}$ und der Vergleich mit $ \mbox{$-u_y$}$ zeigen, daß man $ \mbox{$r=0$}$ wählen kann. Da $ \mbox{$u$}$ und $ \mbox{$v$}$ total differenzierbar sind und nach Konstruktion die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, ist $ \mbox{$f=u+\text{i}v$}$ holomorph.