Lösung.

Es sei $ \mbox{$K\subseteq G$}$ eine kompakte Teilmenge. Für alle $ \mbox{$s \in K$}$ und alle $ \mbox{$n \in \mathbb{N}$}$ gilt

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert n^{-s} \right\vert\:=\; n^{-\text{Re }s}\;\le\;n^{-\sigma} $}$
für
$ \mbox{$\displaystyle \sigma\;:=\; \min\left\{\text{Re }s \;\vert\; s \in K \right\}\;>\; 1\;. $}$
Ferner gilt
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-\sigma} \;<\; \infty \;. $}$
Also ist die Reihe $ \mbox{$\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$}$ normal konvergent auf $ \mbox{$G$}$ . Folglich ist die Funktion $ \mbox{$\zeta(s)$}$ holomorph auf $ \mbox{$G$}$ und es gilt
$ \mbox{$\displaystyle \zeta'(s)\;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{\partial}{\partial s} n^{-s}\;=\;- \sum_{n=1}^\infty (\log n) n^{-s}\;, $}$
denn es gilt $ \mbox{$\ \frac{\partial}{\partial s} n^{-s}=\frac{\partial}{\partial s}\exp(-s \log n)=-(\log n)n^{-s}$}$ .