Aufgabe.

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Grenzfunktion:

Es sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet, und $ \mbox{$(f_n)_{n\ge m}$}$ sei eine Folge holomorpher Funktionen $ \mbox{$G\to\mathbb{C}$}$ , welch auf $ \mbox{$G$}$ kompakt konvergiert. Für jedes $ \mbox{$n\ge m$}$ sei eine Stammfunktion $ \mbox{$g_n:G\to\mathbb{C}$}$ gegeben, d.h. $ \mbox{$g_n$}$ ist holomorph und erfüllt $ \mbox{$g_n'=f_n$}$ . Ferner sei $ \mbox{$z_0\in G$}$ derart, daß $ \mbox{$g_n(z_0)$}$ konvergiert für $ \mbox{$n\to\infty$}$ .

Zeige, daß die Folge $ \mbox{$(g_n)_{n\ge m}$}$ kompakt auf $ \mbox{$G$}$ konvergiert, und daß gilt $ \mbox{$(\lim_{n\to\infty} g_n)'=\lim_{n\to\infty}f_n$}$ .