Lösung.

Es sei $ \mbox{$K\subseteq\{s\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Re }s>0\}$}$ eine kompakte Teilmenge. Wir wollen mit dem Cauchy-Kriterium zeigen, daß die Funktionenreihe gleichmäßig auf $ \mbox{$K$}$ konvergiert. Es sei dazu $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ .

Da $ \mbox{$K$}$ kompakt ist, gibt es $ \mbox{$\sigma_0>0$}$ und $ \mbox{$c>0$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle \text{Re }s \;\ge\; \sigma_0\;,\;\; \vert s\vert\le c\;,\;\;\; \text{f\uml ur alle }s\in K\;. $}$

Mit abelscher partieller Summation gilt

$ \mbox{$\displaystyle \displaystyle\sum_{\nu=m}^n (-1)^\nu \nu^{-s} \;=\; \lef... ...\left(\sum_{\mu=m}^\nu (-1)^\mu\right) \left(\nu^{-s}-(\nu+1)^{-s}\right)\;. $}$

Es sei nun $ \mbox{$s\in K$}$ . Aus $ \mbox{$\text{Re }s\ge \sigma_0$}$ , $ \mbox{$\vert s\vert\le c$}$ sowie der Mittelwertungleichung folgt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left\vert\nu^{-s}-(\nu+1)^{-s}\right... ...t\cdot \nu^{-(\text{Re }s)-1} \;\le\; c\cdot \nu^{-\sigma_0-1}\;. \end{array}$}$
Man beachte, daß $ \mbox{$\sum_{\nu=m}^n (-1)^\nu$}$ und $ \mbox{$\sum_{\mu=m}^\nu(-1)^\mu$}$ nur die Werte $ \mbox{$-1$}$ , $ \mbox{$0$}$ oder $ \mbox{$1$}$ annehmen und vom Betrag her mit $ \mbox{$1$}$ abgeschätzt werden können. Daraus folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\left\vert\sum_{\nu=m}^n... ...^{-\sigma_0} + c\displaystyle\sum_{\nu=m}^{n-1} \nu^{-\sigma_0-1} \end{array}$}$
für alle $ \mbox{$s\in K$}$ . Da die Reihe $ \mbox{$\sum_{\nu=1}^\infty \nu^{-\sigma_0-1}$}$ konvergiert, gibt es ein $ \mbox{$N\ge 1$}$ so, daß
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{\nu=m}^{n-1}\nu^{-\sigma_0-1} \;\le\; \varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$m\ge n\ge N$}$ . Nach eventueller Vergrößerung von $ \mbox{$N$}$ kann man auch noch annehmen, daß
$ \mbox{$\displaystyle N^{-\sigma_0} \;\le\; \varepsilon\;. $}$
Insgesamt ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\sum_{\nu=m}^n (-1)^\nu \nu^{-s}\right\vert \;\le\; \varepsilon+c\varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$s\in K$}$ und alle $ \mbox{$m\ge n\ge N$}$ .

Also ist die Funktionenreihe $ \mbox{$\sum_{\nu=m}^n (-1)^\nu \nu^{-s}$}$ auf $ \mbox{$K$}$ gleichmäßig konvergent. Da $ \mbox{$K$}$ beliebig war, konvergiert sie demnach kompakt auf $ \mbox{$\{s\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Re }s>0\}$}$ .

Bemerkung: Mit komplexer Integration und der Dreiecksungleichung für Integrale ergibt sich die bessere Abschätzung

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\nu^{-s}-(\nu+1)^{-s}\right\vert \;\le\; \frac... ...t s\vert}{\text{Re s}}\left(\nu^{-\text{Re s}}-(\nu+1)^{-\text{Re s}}\right) $}$
für $ \mbox{$\text{Re s}>0$}$ . Dann vereinfacht sich obige Rechnung durch eine Teleskopsumme.