- Es sei zunächst
derart, daß
konvergiert für
. Es sei
so gewählt, daß
Dann gilt für
und
aufgrund der Mittelwertungleichung, daß
Es sei
. Dann gibt es ein
derart, daß für alle
und alle
gilt, daß
Folglich gilt für alle
und alle
, daß
Nach dem Cauchy-Kriterium ist die Folge
gleichmäßig konvergent auf
.
- Da je zwei Punkte in
durch einen Polygonzug in
verbunden werden können, folgt aus dem oben Bewiesenen und der Konvergenz
der Folge
im Punkt
auch die Konvergenz der Folge
in allen Punkten von
.
Dann folgt aus dem oben Bewiesenen, daß die Folge sogar lokal gleichmäßig auf
konvergiert, d.h. sie konvergiert kompakt auf
.
- Aus der kompakten Konvergenz und der Holomorphie aller
folgt, daß die Grenzfunktion
ebenfalls holomorph ist, und es gilt