Das Riemannintegral einer komplexwertigen Funktion.
Eine Funktion heißt Riemann-integrierbar, falls die Funktionen und Riemann-integrierbar sind. In diesem Falle heißt
Definition.
Es sei gegeben. Unter einer Kurve in verstehen wir eine stetige Abbildung , wobei ein kompaktes Intervall sei. Der Träger von ist definiert durch
Die Kurve heißt Weg, falls es eine Unterteilung
Es sei nun ein Weg und eine stetige Funktion. Dann definieren wir das Kurvenintegral von längs durch
Regeln.
Es seien , ein Weg in und eine stetige Funktion. Dann gelten folgende Regeln.
Es sei eine offene Menge. Es sei eine Stammfunktion von , d.h. es gelte , und sei ein Weg. Dann gilt das Analogon zum Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
Holomorphie von Kurvenintegralen.
Es seien eine offene Menge und ein Weg. Es sei eine Funktion. Für jedes feste sei die Funktion
Vertauschung von Grenzwert und Kurvenintegral.
Es sei ein Weg. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen so, daß die Folge bzw. die Reihe gleichmäßig konvergent auf sei. Dann gilt