Wir definieren
Wir wollen zeigen, daß
und
kompakt auf
konvergieren.
Dazu sei
kompakt.
Es sei
.
Es sei
Dann gilt für
und
und das Integral
Also konvergiert auch
Wählt man
so, daß
für alle
, so folgt
für alle
und alle
.
Also konvergiert
kompakt auf
gegen
.
Es sei
Dann gilt für
und
für eine Konstante
, und das Integral
Also konvergiert auch
Wählt man
so, daß
für alle
, so folgt
für alle
und alle
.
Also konvergiert
kompakt auf
gegen
.
Nach dem Satz über die Holomorphie von Kurvenintegralen sind
und
holomorph mit
Daher ist auch die Summe der beiden Grenzfunktionen
holomorph auf
mit
Bemerkung: Wir haben sogar gezeigt, daß die Folge
kompakt auf
konvergiert, d.h. die Funktion
ist eine ganze Funktion.