Einfacher Zusammenhang.
Ein Gebiet heißt einfach zusammenhängend, falls sein Komplement zusammenhängend ist.
Dafür ist es weder notwendig, noch hinreichend, daß zusammenhängend ist. Die geforderte Eigenschaft kann dadurch charakterisiert werden, daß sich als Vereinigung zusammenhängender unbeschränkter Mengen schreiben läßt.
Zum Beispiel ist die geschlitzte Ebene einfach zusammenhängend.
Sternförmige Gebiete sind stets einfach zusammenhängend. Hingegen ist das Gebiet nicht einfach zusammenhängend. Anschaulich bedeutet einfach zusammenhängend, daß das Gebiet keine Löcher hat.
Cauchyscher Integralsatz.
Es seien ein einfach zusammenhängendes Gebiet, eine holomorphe Funktion und ein geschlossener Weg in . Dann gilt der Cauchysche Integralsatz
Gleichbedeutend damit ist die Tatsache, daß eine holomorphe Funktion auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet stets eine Stammfunktion besitzt.
Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.
Es sei holomorph und sei eine offene Kreisscheibe mit . ist. Es sei der positiv orientierte Rand von , d.h. für . Dann gilt für alle die Cauchysche Integralformel