- Die Cauchysche Integralformel besagt, daß
gilt für alle
. Nun ist der Integrand
als Funktion zweier Veränderlicher stetig auf
und holomorph als Funktion von
mit
Damit ist auch
als Funktion zweier Veränderlicher stetig auf
.
Also sind die Voraussetzungen des Satzes über die Holomorphie von Parameterintegralen erfüllt, und es folgt
- Dieselbe Argumentation kann nun auf den Integranden
in der obigen Gleichung angewandt werden.
Dieser ist stetig als Funktion zweier Veränderlicher auf
und holomorph als Funktiobn von
,
und seine Ableitung nach
ist
, also ebenfalls stetig auf
.
Nach dem Satz über die Holomorphie von Parameterintegralen und der Gleichung aus 1. folgt, daß
holomorph auf
ist.
Da
beliebig gewählt werden kann, ist
sogar holomorph auf
.
- Es sei
.
Wendet man die Standardabschätzung auf das Integral in 1. an, so ergibt sich mit
, daß
In dieser Formel kann nun
beliebig groß gewählt werden. Also folgt
Daraus folgt
für alle
. Daher ist
konstant auf
.