(Die Homologiegruppe eines Gebiets)
Diese Aufgabe setzt elementare Kenntnisse in der Gruppentheorie voraus.
Es sei
ein Gebiet, und es sei
die Menge aller geschlossenen Wege in
. Für diese
Aufgabe sei ein Wegezyklus eine formale Summe der Form
wobei
, und es gelte
für fast alle
.
Es sei
die Menge aller Wegezyklen in
; diese wird durch die Addition
zu einer abelschen Gruppe.
Ein Wegezyklus
heißt
-nullhomolog, falls
Zeige.
- Die Menge
aller
-nullhomologer Wegezyklen ist eine Untergruppe von
.
-
ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn die Homologiegruppe von
, definiert durch
, trivial ist.
- Ist
eine konforme Abbildung, so sind
und
isomorph.
- Es sei
einfach zusammenhängend, und
seien paarweise verschieden.
Dann ist
isomorph zu
.
- Es gibt keine konforme Abbildung
.