Definition der Windungszahl.
Es sei ein geschlossener Weg, und es sei mit . Dann definieren wir die Windungszahl oder Umlaufzahl von bezüglich durch
Eigenschaften der Windungszahl:
Geometrische Bedeutung der Windungszahl.
Auf der oberen Halbebene können wir den Winkel, den zwei Punkte mit dem Nullpunkt einschließen, durch die Formel
Ist allgemeiner die Halbebene ,,oberhalb`` der Geraden durch in Richtung , , so ist
Es sei nun ein geschlossener Weg, und es sei . Dann kann man eine Unterteilung wählen derart, daß die Teilkurven in Halbebenen bezüglich Geraden durch liegen, d.h. es gibt Richtungen mit
Skizze einer Kurve mit .
Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel.
Es sei ein Gebiet, und seien geschlossene Wege in . Dann heißt das Tupel ein Wegezyklus in . Wir definieren die Windungszahl von bezüglich durch
Es sei nun ein -nullhomologer Wegezyklus und eine holomorphe Funktion. Dann besagt die Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes, daß
Homotopie.
Es sei ein Gebiet und es seien zwei Wege, die jeweils denselben Anfangspunkt und denselben Endpunkt haben. Eine Homotopie von nach in G ist eine stetige Abbildung
Skizze von .
Ist ein geschlossener Weg und -homotop zu einer konstanten Kurve, so heißt -nullhomotop.
Es seien und -homotope Kurven und sei holomorph. Dann besagt die Homotopieversion des Cauchyschen Integralsatzes, daß
Insbesondere ist ein -nullhomotoper Weg auch -nullhomolog.
Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete.
Ein Gebiet heißt einfach zusammenhängend, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist.
Die dritte Eigenschaft besagt, daß ein Weg in keine Punkte des Komplementes von umlaufen kann. Die vierte Eigenschaft besagt, daß ein Weg in stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden kann, ohne zu verlassen.