Lösung.

Es genügt, den Satz für normierte Polynome zu beweisen. Es sei $ \mbox{$f(z):= z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0$}$ ein normiertes Polynom vom Grade $ \mbox{$n \geq 1$}$ , und es sei $ \mbox{$g(z):=-z^n$}$ . Für jedes $ \mbox{$r>0$}$ besitzt $ \mbox{$g(z)$}$ eine einzige $ \mbox{$n$}$ -fache Nullstelle im Punkt $ \mbox{$0$}$ in der Kreisscheibe $ \mbox{$B_r(0)$}$ . Andererseits gilt für $ \mbox{$\vert z\vert=r$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dfrac{\vert f(z)+g(z)\vert}{\vert ... ...^{n-1}+\ldots+\vert a_1\vert r+\vert a_0\vert}{r^n} \;\to\; 0 \end{array} $}$
für $ \mbox{$r\to\infty$}$ . Für genügend großes $ \mbox{$r$}$ gilt demnach
$ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)+g(z)\vert\;<\; \vert g(z)\vert $}$
für alle $ \mbox{$z\in\partial B_r(0)$}$ . Nach dem Satz von Rouché hat $ \mbox{$f$}$ ebenfalls $ \mbox{$n$}$ Nullstellen in $ \mbox{$B_r(0)$}$ .