Aufgabe.

(Der Satz von Hurwitz)

Es sei $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet, und es sei $ \mbox{$(f_n)_{n\ge m}$}$ eine Folge holomorpher Funktionen $ \mbox{$f_n:G\to\mathbb{C}$}$ , welche auf $ \mbox{$G$}$ kompakt gegen $ \mbox{$f$}$ konvergiert. Zeige.

  1. Es seien $ \mbox{$z_0\in G$}$ und $ \mbox{$r>0$}$ derart, daß $ \mbox{$\overline{B_r(z_0)}\subseteq G$}$ und $ \mbox{$f(z)\ne 0$}$ für alle $ \mbox{$z\in \partial B_r(z_0)$}$ . Dann gibt es ein $ \mbox{$N\ge m$}$ derart, daß für alle $ \mbox{$n\ge N$}$ die Fuktionen $ \mbox{$f_n$}$ und $ \mbox{$f$}$ gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheiten) in $ \mbox{$B_r(z_0)$}$ haben.
  2. Es gelte $ \mbox{$f_n(z)\ne 0$}$ für alle $ \mbox{$n\ge m$}$ und alle $ \mbox{$z\in G$}$ . Dann ist entweder $ \mbox{$f$}$ identisch $ \mbox{$0$}$ oder $ \mbox{$f(z)\ne 0$}$ für alle $ \mbox{$z\in G$}$ .
  3. Es sei $ \mbox{$f_n$}$ injektiv für alle $ \mbox{$n\ge m$}$ . Dann ist $ \mbox{$f$}$ konstant oder injektiv auf $ \mbox{$G$}$ .