Lösung.

  1. Es seien $ \mbox{$f(z):=e^{-z}-(z+2)(z+1)^{-1}$}$ und $ \mbox{$g(z):=(z+2)(z+1)^{-1}$}$ . Dann sind $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ holomorph auf $ \mbox{$G:=\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Re }z>-1\}$}$ . Es sei $ \mbox{$r>0$}$ zunächst fest, und $ \mbox{$\gamma_r$}$ der positiv orientierte Rand des Gebietes
    $ \mbox{$\displaystyle H_r \;:=\; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Re }z>0,\; \vert z\vert<r\}\;. $}$
    Skizze.

    \includegraphics[width=6cm]{s2.eps}

    Für $ \mbox{$z\in\mathcal{T}(\gamma_r)$}$ gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)+g(z)\vert \;=\; \vert e^{-z}\vert \;=\; e^{-\text{Re }z} \;\le\; 1 $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \vert g(z)\vert \;>\; 1\;, $}$
    denn für $ \mbox{$\text{Re z}>-\frac{3}{2}$}$ gilt stets $ \mbox{$\vert z+2\vert^2>\vert z+1\vert^2$}$ , wie man leicht nachrechnet.

    Also gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \vert f+g\vert \;<\; \vert g\vert $}$
    auf $ \mbox{$\mathcal{T}(\gamma_r)$}$ , und weder $ \mbox{$f$}$ noch $ \mbox{$g$}$ haben dort Nullstellen. Nach dem Satz von Rouché haben daher $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ gleich viele Nullstellen in $ \mbox{$H_r$}$ , nämlich keine. Da $ \mbox{$r$}$ beliebig war, folgt die Behauptung.

  2. Es sei zunächst $ \mbox{$g(z):=4z$}$ . Dann gilt für alle $ \mbox{$z\in\partial B_1(0)$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)+g(z)\vert \;=\; \vert z^5+\text{i}z^3+\text{i}\vert \;\le\; 3 $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \vert g(z)\vert \;=\; 4\;. $}$
    Also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f+g\vert \;<\; \vert g\vert $}$
    auf $ \mbox{$\partial B_1(0)$}$ , und die Funktionen $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ sind holomorph und dort ohne Nullstelle. Daher haben $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ auf $ \mbox{$B_1(0)$}$ gleich viele Nullstellen, nämlich eine.

    Es sei andererseits $ \mbox{$h(z):=-z^5$}$ . Dann gilt für alle $ \mbox{$z\in\partial B_2(0)$}$

    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)+h(z)\vert \;=\; \vert\text{i}z^3-4z+\text{i}\vert \;\le\; \vert z\vert^3+4\vert z\vert+1\;\le\; 13 $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle \vert h(z)\vert \;=\; 32\;. $}$
    Also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f+h\vert \;<\; \vert h\vert $}$
    auf $ \mbox{$\partial B_2(0)$}$ , und die Funktionen $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$h$}$ sind holomorph und dort ohne Nullstelle. Daher haben $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$h$}$ auf $ \mbox{$B_2(0)$}$ gleich viele Nullstellen, nämlich fünf.

    Folglich besitzt $ \mbox{$f$}$ genau vier Nullstellen in $ \mbox{$G$}$ .