Lösung.

Wir betrachten die Funktion

$ \mbox{$\displaystyle g(z)\;:=\; u_x(x,y)-\text{i}u_y(x,y) $}$
für $ \mbox{$z=x + \text{i}y \in G$}$ . Dann sind $ \mbox{$\text{Re }g$}$ und $ \mbox{$\text{Im }g$}$ differenzierbar, und es gilt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lclclcl} (\text{Re }g)_x &=& u_{xx} &=& -u... ...\\ (\text{Re }g)_y &=& u_{xy} &=& u_{yx}&=& -(\text{Im }g)_x\;, \end{array}$}$
d.h. $ \mbox{$g$}$ erfüllt die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und ist somit holomorph auf $ \mbox{$G$}$ . Da $ \mbox{$G$}$ einfach zusammenhängend ist, besitzt $ \mbox{$g$}$ eine Stammfunktion $ \mbox{$f$}$ . Es gilt folglich
$ \mbox{$\displaystyle (\text{Re }f)_x - \text{i}(\text{Re }f)_y\;=\;f'\;=\;g\;=\;u_x-\text{i}u_y\;. $}$
Daher sind $ \mbox{$\text{Re }f$}$ und $ \mbox{$u$}$ differenzierbare Funktionen auf $ \mbox{$G$}$ , deren Gradienten übereinstimmen, d.h. sie unterscheiden sich um eine Konstante $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ . Dann ist $ \mbox{$f-c$}$ holomorph auf $ \mbox{$G$}$ und $ \mbox{$(\text{Re }f-c)=u$}$ .