Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$h\in H$}$ . Es sei $ \mbox{$D\subseteq G$}$ eine offene Kreisscheibe mit $ \mbox{$f(h)\in D$}$ . Da $ \mbox{$u$}$ harmonisch auf $ \mbox{$G$}$ ist, gibt es eine holomorphe Funktion $ \mbox{$g:D\to\mathbb{C}$}$ mit
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Re }g \;=\; u\;. $}$
    Es sei $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ derart, daß $ \mbox{$B_\varepsilon(h)\subseteq f^{-1}(D)$}$ . Dann ist $ \mbox{$g\circ f$}$ holomorph auf $ \mbox{$B_\varepsilon(h)$}$ , und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Re}(g\circ f) \;=\; u\circ f\;. $}$
    Demnach ist $ \mbox{$u\circ f$}$ harmonisch auf $ \mbox{$B_\varepsilon(h)$}$ . Da $ \mbox{$h\in H$}$ beliebig war, folgt die Behauptung.

    Bemerkung: Es ist auch möglich, aber weit aufwendiger, die Laplacesche Differentialgleichung für $ \mbox{$u\circ f$}$ nachzurechnen.

  2. Wir beweisen zunächst einen Spezialfall der Behauptung:

    $ \mbox{$(\ast)$}$ Sind $ \mbox{$D_1,D_2$}$ offene Kreisscheiben mit $ \mbox{$D_1\subseteq D_2\subseteq G$}$ , und gilt $ \mbox{$u\vert _{D_1}=v\vert _{D_1}$}$ , so folgt daraus $ \mbox{$u\vert _{D_2}=v\vert _{D_2}$}$ .

    Es gibt nämlich holomorphe Funktionen $ \mbox{$f,g:D_2\to\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$\text{Re }f=u\vert _{D_2}$}$ und $ \mbox{$\text{Re }g=v\vert _{D_2}$}$ . Dann ist $ \mbox{$f-g$}$ holomorph und erfüllt auf $ \mbox{$D_1$}$ die Gleichung

    $ \mbox{$\displaystyle \text{Re}(f-g) \;=\; 0\;. $}$
    Aus der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung folgt, daß $ \mbox{$f-g$}$ konstant auf $ \mbox{$D_1$}$ ist, d.h. es gilt $ \mbox{$f=g+c$}$ auf $ \mbox{$D_1$}$ für ein $ \mbox{$c\in\text{i}\mathbb{R}$}$ . Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt $ \mbox{$f=g+c$}$ auf $ \mbox{$D_2$}$ , und daher auch $ \mbox{$u=\text{Re }f=\text{Re }g=v$}$ auf $ \mbox{$D_2$}$ . Damit ist die Hilfsbehauptung $ \mbox{$(\ast)$}$ bewiesen.

    Es sei nun

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} U &:=& \{z\in G\;\vert\; \exists\vare... ...\;s\in B_\varepsilon(z)\}\vspace*{2mm}\\ V &:=& G\setminus U\;. \end{array}$}$
    Dann gilt $ \mbox{$G=U\cup V$}$ und $ \mbox{$U\cap V=\emptyset$}$ . Ferner ist $ \mbox{$U$}$ nach Definition eine offene Menge.

    Wir wollen zeigen, daß $ \mbox{$V$}$ ebenfalls offen ist. Es sei $ \mbox{$z\in V$}$ . Es sei $ \mbox{$\delta>0$}$ so gewählt, daß $ \mbox{$B_\delta(z)\subseteq G$}$ . Wir wollen zeigen, daß

    $ \mbox{$\displaystyle B_\delta(z)\;\subseteq \; V $}$
    gilt. Es sei dazu $ \mbox{$w\in B_\delta(z)$}$ , und wir nehmen an, es gälte $ \mbox{$w\not\in V$}$ . Dann ist $ \mbox{$w\in U$}$ , d.h. es gibt ein $ \mbox{$\varepsilon>0$}$ so, daß $ \mbox{$u(s)=v(s)$}$ gilt für alle $ \mbox{$s\in B_\varepsilon(w)$}$ . Es sei ohne Einschränkung $ \mbox{$\varepsilon$}$ so klein, daß
    $ \mbox{$\displaystyle B_\varepsilon(w) \;\subseteq\; B_\delta(z) \;\subseteq\; G\;. $}$
    Nun gilt $ \mbox{$u=v$}$ auf $ \mbox{$B_\varepsilon(w)$}$ . Nach der Hilfsbehauptung $ \mbox{$(\ast)$}$ folgt $ \mbox{$u=v$}$ auf $ \mbox{$B_\delta(z)$}$ , und somit $ \mbox{$z\in U$}$ im Widerspruch zu $ \mbox{$z\in V$}$ . Damit ist die Annahme $ \mbox{$w\not\in V$}$ widerlegt, und es folgt $ \mbox{$w\in V$}$ . Somit ist $ \mbox{$B_\delta(z)\subseteq V$}$ .

    Damit haben wir bewiesen, daß $ \mbox{$V$}$ offen ist. Ferner ist $ \mbox{$U\ne 0$}$ , da nach Voraussetzung $ \mbox{$D\subseteq U$}$ . Da $ \mbox{$G$}$ zusammenhängend ist, folgt daraus

    $ \mbox{$\displaystyle V \;=\; \emptyset\;, $}$
    d.h. $ \mbox{$U=G$}$ . Damit ist die Behauptung bewiesen.

  3. Betrachte die Funktionen $ \mbox{$u,v:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$}$ , definiert durch
    $ \mbox{$\displaystyle u(x,y) \;:=\; x\;,\;\; v(x,y)\;:=\; y\;. $}$
    Offenbar gilt $ \mbox{$u_{xx}=u_{yy}=v_{xx}=v_{yy}=0$}$ auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ , d.h. $ \mbox{$u$}$ und $ \mbox{$v$}$ sind harmonisch auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ . Andererseits stimmen $ \mbox{$u$}$ und $ \mbox{$v$}$ auf der Menge
    $ \mbox{$\displaystyle D \;:=\; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Re }z=\text{Im }z\} $}$
    überein, welche $ \mbox{$D'=D$}$ erfüllt, also Häufungspunkte in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ besitzt. Foglich gibt es keine direkte Verallgemeinerung des Identitatssatzes für holomorphe Funktionen auf den Fall harmonsicher Funktionen.

  4. Da $ \mbox{$u$}$ stetig ist, ist $ \mbox{$u(G)\subseteq\mathbb{R}$}$ eine zusammenhängende Menge. Es bleibt zu zeigen, daß $ \mbox{$u(G)$}$ offen ist. Es sei etwa
    $ \mbox{$\displaystyle G \;=\; \bigcup_{t\in T} D_t $}$
    als Vereinigung offener Kreisscheiben geschrieben. Für jedes $ \mbox{$t\in T$}$ gibt es eine holomorphe Funktion $ \mbox{$f_t:D_t\to\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$\text{Re }f_t=u\vert _{D_t}$}$ . Nach 2. ist $ \mbox{$u\vert _{D_t}$}$ nicht konstant, also ist auch $ \mbox{$f_t$}$ nicht konstant. Nach dem Satz von der Gebietstreue holomorpher Funktionen ist $ \mbox{$f_t(D_t)\subseteq\mathbb{C}$}$ offen. Daher ist auch
    $ \mbox{$\displaystyle u(D_t) \;=\; \text{Re}(f_t(D_t)) \;\subseteq\;\mathbb{R} $}$
    offen. Folglich ist die Menge
    $ \mbox{$\displaystyle u(G) \;=\; \bigcup_{t\in T} u(D_t) $}$
    offen.

  5. Es seien $ \mbox{$u$}$ und $ \mbox{$v$}$ harmonisch auf $ \mbox{$G$}$ und stetig auf $ \mbox{$\overline{G}$}$ mit
    $ \mbox{$\displaystyle u\vert _{\partial G} \;=\; v\vert _{\partial G}\;. $}$
    Wir wollen zeigen, daß $ \mbox{$u=v$}$ auf $ \mbox{$G$}$ gilt. Wir nehmen das Gegenteil an, d.h. die Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle w \;:=\; u-v $}$
    ist nicht konstant auf $ \mbox{$G$}$ . Da $ \mbox{$w$}$ harmonisch auf $ \mbox{$G$}$ ist, nimmt $ \mbox{$\vert w\vert$}$ nach 4. kein Maximum an. Da $ \mbox{$\vert w\vert$}$ stetig auf $ \mbox{$\overline{G}$}$ ist, nimmt $ \mbox{$\vert w\vert$}$ ein Maximum auf $ \mbox{$\overline{G}$}$ an, das folglich auf $ \mbox{$\partial G$}$ liegen muß. Es gilt also
    $ \mbox{$\displaystyle \max\{\vert w(z)\vert\;:\; z\in G\} \;=\; \max\{\vert w(z)\vert\;:\; z\in\partial G\} \;=\; 0\;, $}$
    da $ \mbox{$w=0$}$ auf $ \mbox{$\partial G$}$ gilt. Demnach ist $ \mbox{$w=0$}$ auf $ \mbox{$G$}$ . Daraus folgt die Behauptung.