Es seien , ein Gebiet, und es gelte . Wir betrachten das Variationsproblem
Wir schreiben , falls die zugehörigen Randbedingungen erfüllt, d.h. es gilt mit einer gegebenen Funktion (also Randbedingungen).
Eine zulässige Funktion heißt
Anschaulich gesprochen bedeutet dies, daß ein starkes (lokales) Minimum ist, falls das gegebene Funktional in einer hinreichend kleinen Umgebung um minimiert. ist hingegen ein schwaches (lokales) Minimum, falls das gegebene Funktional in einer hinreichend kleinen Umgebung um für nicht zu ,,zackige`` Funktionen minimiert.
Offenbar gilt die Implikationskette ist ein globales Minimum ist ein starkes (lokales) Minimum ist ein schwaches (lokales) Minimum. Die umgekehrte Richtung ist jedoch im Allgemeinen falsch.
Wir nennen eine Funktion eine zulässige Variation von , , falls , so daß für jede zulässige Funktion ein mit
Für das ,,Standardproblem`` mit festen Rändern, also , ( alle fest) gilt offenbar: ist zulässige Variation genau dann, wenn und .
Die 1. Variation.
Es sei eine zulässige Funktion, , und sei eine zulässige Variation für , . Dann ist die Funktion für , hinreichend klein, wohldefiniert und es existiert auf . Es gilt
Mittels partieller Integration folgt für das Standardproblem
Ist nun schwaches (lokales) Minimum für , , so gilt für alle zulässigen Variationen .
Diese Bedingungen sind jedoch nicht sehr praktikabel, weil sie auch bzw. enthält. Wir wollen im folgenden Bedingungen formulieren, die die zulässigen Variationen nicht mehr enthalten.
Die Eulersche Differentialgleichung.
Es sei ein schwaches (lokales) Minimum für mit den Ecken . Dann gibt es ein so, dass die Eulersche Differentialgleichung
Eine stetig differenzierbare Lösung der obigen Integralgleichung heißt Extremale oder kritische Funktion. Eine Extremale heißt regulär, falls alle ,,Linienelemente`` regulär sind, d.h. für alle .
Ist und eine reguläre Extremale von , so ist sogar , und erfüllt die Differentialgleichung zweiter Ordnung
Eine einfache Folgerung der Eulerschen Differentialgleichung ist die
1. Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingung.
Diese besagt, daß für die Ecken eines schwachen (lokalen) Minimums stets für alle gilt, d.h., daß stetig auf ist.
Falls nun etwa oder auf gilt, besitzt keine Ecken.