SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 1. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 22.04.2005, vor den Übungen

Schreibweise: Es bezeichne M^{∘} := M^{∘} den offenen Kern einer Menge M.

1. Geben Sie jeweils M^{∘}, \overline{M}, ∂M und M′ an (ohne Beweis).

(i) M = [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × [a_{3}, b_{3}] ⊆ ℝ^{3}, wobei a_{i} < b_{i} für i = 1, 2, 3. (ii) M = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| 0 < x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| |y| > 1}. (iii) M = ℕ × ℚ ⊆ ℝ^{2}.

(iv) M = ⋃_{n=1}^{∞} [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}) × (0, n) ⊆ ℝ^{2}.

(v) M = \{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} | m, n ∈ ℕ\} ⊆ ℝ.

(1+1+1+2+2 P.)

Lösung:

(i)

M^{∘} = (a_{1}, b_{1}) × (a_{2}, b_{2}) × (a_{3}, b_{3})
\overline{M} = M′ = M
∂M = ({a_{1}, b_{1}} × [a_{2}, b_{2}] × [a_{3}, b_{3}])
∪([a_{1}, b_{1}] × {a_{2}, b_{2}} × [a_{3}, b_{3}])
∪([a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × {a_{3}, b_{3}}) .

(ii)

M^{∘} = M
\overline{M} = M′ = \{(x, y)^{t}| x^{2} + y^{2} ≤ 1 oder |y| ≥ 1\}
∂M = {(x, y)^{t}| x^{2} + y^{2} ∈ {0, 1} oder |y| = 1} .

(iii) M^{∘} = ∅, \overline{M} = M′ = ∂M = ℕ × ℝ. (iv)

M^{∘} = M
\overline{M} = M′ = ( ⋃_{n=1}^{∞} [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] × [0, n]) ∪ (\{0\} × [0, ∞))
∂M = ( ⋃_{n=1}^{∞} [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] × \{n\}) ∪ ( ⋃_{n=1}^{∞} \{\frac{1}{n}\} × [n − 1, n])
∪ ({0} × [0, ∞)) ∪ ([0, 1] × {0}) .

\begin{aligned}M^{∘} & = & ∅ \\ \overline{M} = ∂M & = & \{0\} ∪ \{ \frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} ∪ M \\ M′ & = & \{0\} ∪ \{ \frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} . \end{aligned}

2. Es seien X ein normierter Raum und M ⊆ X. Zeigen Sie, daß M′ abge-

schlossen ist.

(2 P.)

Lösung: Es sei x_{0} ∈ M′′. Zu zeigen ist x_{0} ∈ M′. Es sei ε > 0. Zu zeigen: ∃x ∈ M : 0 < ∥x − x_{0}∥ < ε. Nun ist x_{0} ∈ M′′. Also gibt es ein y ∈ M′ mit 0 < ∥y − x_{0}∥ < ε/2. Es sei δ := ∥y − x_{0}∥. Nun ist y ∈ M′. Also gibt es ein x ∈ M mit 0 < ∥x − y∥ < δ. Daher ist

\begin{aligned}0 & < & δ − ∥x − y∥ = ∥y − x_{0}∥ − ∥x − y∥ ≤ ∥x − x_{0}∥ \\ & ≤ & ∥x − y∥ + ∥y − x_{0}∥ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε . \end{aligned}

Das war zu zeigen.

3. Entscheiden Sie, ob folgende Relationen in einem normierten Raum gelten. Geben Sie jeweils einen Beweis für die Aussage oder ein Gegenbeispiel an.

(i) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}. (ii) \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}. (iii) (A ∪ B)^{∘} = A^{∘} ∪ B^{∘}. (iv) ∂(A ∪ B) ⊆ (∂A) ∪ (∂B).

(v) A^{∘} = \overline{A^{∘}} ^{∘}. (vi) A′′′ = A′′.

(je 2 P.)

Lösung:

(i) Zunächst ist A ∪ B ⊆ \overline{A} ∪ \overline{B}, und \overline{A} ∪ \overline{B} ist abgeschlossen. Daraus folgt definitionsgemäß \overline{A ∪ B} ⊆ \overline{A} ∪ \overline{B}. Andererseits gilt \overline{A} ⊆ \overline{A ∪ B} und \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B}. Daraus folgt \overline{A} ∪ \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B}. Insgesamt folgt daher \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}.

(ii) Gegenbeispiel: A := (0, 1) ⊆ ℝ, B := (1, 2) ⊆ ℝ. Dann folgt \overline{A ∩ B} =

∅, aber \overline{A} ∩ \overline{B} = \{1\}. (iii) Gegenbeispiel: A := (0, 1] ⊆ ℝ, B := [1, 2) ⊆ ℝ. Dann folgt (A∪B)^{∘} =

(0, 2), aber A^{∘} ∪ B^{∘} = (0, 1) ∪ (1, 2).

(iv) Es gilt mit (i)

∂(A ∪ B) = \overline{A ∪ B} \ (A ∪ B)^{∘}
= (\overline{A} ∪ \overline{B}) \ (A ∪ B)^{∘}
= (\overline{A} \ (A ∪ B)^{∘}) ∪ (\overline{B} \ (A ∪ B)^{∘})
⊆ (\overline{A} \ A^{∘}) ∪ (\overline{B} \ B^{∘})
= (∂A) ∪ (∂B) .

(v) Gegenbeispiel: A := (0, 1) ∪ (1, 2) ⊆ ℝ. Dann ist A^{∘} = A, aber \overline{A^{∘}} ^{∘} = (0, 2).

(vi) Gegenbeispiel: A := \{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} | m, n ∈ ℕ\} ⊆ ℝ. Dann ist

\begin{aligned}A′ & = & \{0\} ∪ \{ \frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} \\ A′′ & = & \{0\} \\ A′′′ & = & ∅ . \end{aligned}

4. Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente reelle Folge mit x_{0} := lim_{n→∞} x_{n}. Zeigen Sie, daß die Menge M := {x_{n}| n ≥ 0} kompakt ist.

(3 P.)

Lösung: Es sei {O_{α}| α ∈ I} eine offene Überdeckung von M. Dann ist x_{0} ∈ O_{α_{0}} für ein gewisses α_{0} ∈ I. Also gibt es ein ε > 0 mit (x_{0}−ε, x_{0}+ε) ⊆ O_{α_{0}}. Wegen x_{n} → x_{0} für n → ∞ gibt es ein N ∈ ℕ so, daß

n ≥ N ⇒ |x_{n} − x_{0}| < ε .

Daher ist

{x_{n}| n ≥ N} ⊆ O_{α_{0}} .

Ferner gibt es zu jedem n ∈ {1, …, N − 1} ein α_{n} ∈ I so, daß x_{n} ∈ O_{α_{n}}. Es folgt

M ⊆ O_{α_{0}} ∪ O_{α_{1}} ∪ … ∪ O_{α_{N−1}},

d.h. wir haben eine endliche Teilüberdeckung von M gefunden. Aus der Beliebigkeit von {O_{α}| α ∈ I} folgt, daß M kompakt ist.

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05