SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 2. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 29.04.2005, vor den Übungen

1. Es seien a < b ∈ ℝ und X := C[a, b] der normierte Raum der stetigen Funktion [a, b] → ℝ mit der Supremumsnorm ∥f∥ := sup f([a, b]). Zeigen Sie, daß die Abbildung φ : X → ℝ, definiert durch φ(f) := ∫_{a}^{b} f(x) dx, eine Lipschitz-Bedingung erfüllt und stetig ist.

(4 P.)

Lösung: Es wird für f, g ∈ X

|φ(f − g)| = |∫_{a}^{b} f(x) − g(x) dx|
≤ ∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)| dx
≤ (b − a) · sup |f − g|([a, b])
= (b − a) · ∥f − g∥ .

Also erfülllt φ eine Lipschitz-Bedingung mit Konstante b − a. Nach Vorlesung ist φ insbesondere stetig.

2. Zeigen Sie, daß die Menge {sin(xy) + e^{x^{2}+y}| x, y ∈ ℝ, x^{2} + y^{2} ≤ 1} ⊆ ℝ ein kompaktes reelles Intervall ist.

(4 P.)

Lösung: Man betrachte die Funktion

\begin{matrix}M := \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| x^{2} + y^{2} ≤ 1\} & ⟶^{f} & ℝ \\ (x, y)^{t} & ↦ & sin(xy) + e^{x^{2}+y} . \end{matrix}

Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Außerdem ist die Menge M zusammenhängend. Ferner ist f eine stetige Funktion (als Summe von Produkten von Kompositionen stetiger Funktionen). Nach Vorlesung ist daher die zu betrachtende Menge

f(M) = {sin(xy) + e^{x^{2}+y}| x, y ∈ ℝ, x^{2} + y^{2} ≤ 1}

eine kompakte und zusammenhängende Teilmenge von ℝ, also ein kompaktes Intervall in ℝ.

3. Es sei g_{k}(x_{1}, x_{2}) := (x_{1}^{k} + x_{2})/k^{2}, für alle x_{1}, x_{2} ∈ ℝ und alle k ∈ ℕ. Bestimmen Sie möglichst große Mengen D ⊆ ℝ^{2} so, daß die Funktionenreihe ∑_{k=1}^{∞} g_{k} gleichmäßig auf D konvergiert (mit Beweis).

(4 P.)

Lösung: Wir wollen alle Mengen D bestimmen derart, daß die Funktionenreihe auf D gleichmäßig konvergiert.

Zunächst divergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞}(x_{1}^{k} + x_{2})/k^{2} im Falle |x_{1}| > 1. Also ist die Relation

D ⊆ [−1, 1] × ℝ

zumindest notwendig dafür, daß die Funktionenreihe auf D gleichmäßig konvergiert.

Wir behaupten nun, daß die Funktionenreihe auf D gleichmäßig konvergiert genau dann, wenn es ein c > 0 gibt so, daß

D ⊆ [−1, 1] × [−c, c] .

Zum Beweis der Hinlänglichkeit sei D ⊆ [−1, 1] × [−c, c] für ein c > 0 vorausgesetzt. Dann folgt die Ungleichung

|g_{k}(x_{1}, x_{2})| ≤ \frac{1 + c}{k^{2}} ,

und es gilt

∑_{k=1}^{∞} \frac{1 + c}{k^{2}} < ∞ .

Nach dem Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz konvergiert die Funktionenreihe auf D also gleichmäßig.

Zum Beweis der Notwendigkeit sei D gegeben derart, daß die Funktionenreihe auf D gleichmäßig konvergiert. Wir wissen nach obigem bereits, daß D ⊆ [−1, 1]×ℝ. Nach dem Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz gibt es zu ε := 1 ein N ∈ ℕ derart, daß für alle μ ≥ m ≥ N und alle x ∈ D gilt | ∑_{k=m+1}^{μ} g_{k}(x)| < ε. Insbesondere folgt für alle x = (x_{1}, x_{2})^{t} ∈ D

1 > |g_{N+1}(x_{1}, x_{2})|  = |\frac{x_{1}^{N+1} + x_{2}}{(N + 1)^{2}} |
≥ \frac{|x_{2}|}{(N + 1)^{2}} − \frac{|x_{1}|^{N+1}}{(N + 1)^{2}} ≥ \frac{|x_{2}|}{(N + 1)^{2}} − \frac{1}{(N + 1)^{2}}
= \frac{|x_{2}| − 1}{(N + 1)^{2}} .

Daraus folgt aber

|x_{2}| < (N + 1)^{2} + 1 =: c ,

d.h. es gilt D ⊆ [−1, 1] × [−c, c].

Damit haben wir obige Behauptung bewiesen. Möglichst große Mengen D derart, daß die Funktionenreihe auf D gleichmäßig konvergiert, sind also die Mengen [−1, 1] × [−c, c] für beliebige c > 0. Jede möglich Menge D ist Teilmenge einer solchen Menge [−1, 1] × [−c, c].

4. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit.

(i) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x_{1}, x_{2}) := (cos(x_{1} + x_{2}) , log(x_{1}^{2} + e^{x_{2}}))^{t}.

(ii) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases}.

(iii) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases}.

(iv) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(x_{1}x_{2})}{n^{2}} .

(je 2 P.)

Lösung:

(i) Die Funktion f läßt sich komponentenweise als Komposition von Summen stetiger Funktionen schreiben. Sie ist folglich selbst stetig. Genauer, bezeichnet man die Projektionen ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2})^{t} ↦ x_{1} bzw. ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2})^{t} ↦ x_{2} mit p_{1} bzw. p_{2}, so gilt

f = \binom{cos ∘(p_{1} + p_{2})}{log ∘(p_{1} · p_{1} + exp ∘p_{2})}

und cos : ℝ → ℝ, exp : ℝ → ℝ, log : ℝ_{>0} → ℝ sind jeweils stetig.

(ii) Die Funktion f ist stetig auf ℝ^{2}\{(0, 0)^{t}}, denn sie ist Quotient stetiger Funktionen. Im Punkt (0, 0)^{t} ist f jedoch nicht stetig. Es sei dazu die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} definiert durch

a_{n} := \binom{1/n}{1/n} .

Dann gilt

lim_{n→∞} a_{n} = \binom{0}{0}
lim_{n→∞} f(a_{n}) = lim_{n→∞} \frac{(1/n)^{2}}{(1/n)^{2} + (1/n)^{2}}
= \frac{1}{2} ≠ f(0, 0) .

Nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit ist daher f nicht stetig im Punkt (0, 0)^{t}.

(iii) Wie im vorigen Beispiel ist f stetig in jedem Punkt ≠ (0, 0)^{t}. Die Stetigkeit im Punkt (0, 0)^{t} muß jedoch gesondert betrachtet werden.

Für x = (x_{1}, x_{2})^{t} ≠ (0, 0)^{t} beachten wir die Ungleichung

|f(x) − f(0, 0)| = |\frac{x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} |
= \frac{|x_{1}| · |x_{2}|^{2}}{∥x∥^{2}}
≤ \frac{∥x∥ · ∥x∥^{2}}{∥x∥^{2}}
= ∥x∥ .

Ist also ε > 0 gegeben und wählt man δ := ε, so gilt für alle x ∈ ℝ^{2} mit 0 < ∥x∥ < δ demzufolge |f(x) − f(0, 0)| ≤ ∥x∥ < ε. Also ist f definitionsgemäß stetig im Punkt (0, 0)^{t}.

(iv) Es handelt sich um eine Funktionenreihe ∑_{n=1}^{∞} g_{n} mit g_{n}(x_{1}, x_{2}) := sin(x_{1}x_{2})/n^{2}. Es gilt

|g_{n}(x_{1}, x_{2})| ≤ \frac{1}{n^{2}} ,

und

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} < ∞ .

Nach dem Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz ist die Funktionenreihe gleichmäßig konvergent. Da alle Summanden g_{n} stetige Funktionen sind, ist nach Vorlesung auch die Funktionenreihe f stetig.

5. Für einen Multiindex p = (p_{1}, …, p_{n}) ∈ ℕ_{0}^{n} definieren wir p! := p_{1}!·. . .·p_{n}!. Zeigen Sie, daß für alle x = (x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ ℂ^{n} die Identität

e^{x_{1}+...+x_{n}} = ∑_{p∈ℕ_{0}^{n}} \frac{x^{p}}{p!}

gilt, und die Potenzreihe konvergiert absolut.

(4 P.)

Lösung: Es gilt

e^{x_{1}+...+x_{n}} = (∑_{k=0}^{∞} \frac{x_{1}^{k}}{k!} ) · . . . · (∑_{k=0}^{∞} \frac{x_{n}^{k}}{k!} )

= ∑_{p_{1}=1}^{∞} … ∑_{p_{n}=1}^{∞} \frac{x^{p_{1}}}{p_{1}!} · . . . · \frac{x^{p_{n}}}{p_{n}!}

= ∑_{p∈ℕ_{0}^{n}} \frac{x^{p}}{p!} ,

und nach HM I konvergieren alle vorkommenden Reihen absolut.

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05