SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 6. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 27.5.2005, vor den Übungen

Lemma Es gilt ∫ (cos u)^{2} du = \frac{1}{2}(sin u)(cos u) + \frac{u}{2}. Beweis:

∫ (cos u)^{2} du = (sin u)(cos u) + ∫ (sin u)^{2} du
= (sin u)(cos u) + ∫ (1 − (cos u)^{2}) du
= (sin u)(cos u) + u − ∫ (cos u)^{2} du .

Löst man dies nach ∫ (cos u)^{2} du auf, so erhält man die Behauptung. □.

1. Bestimmen Sie jeweils den Inhalt der Menge M.

(i) M := \{\frac{1}{n}| n ∈ ℕ\}.

(ii) M := {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| x^{2} + y^{2} ≤ r^{2}, a ≤ y ≤ r}, wobei 0 < a < r.

(iii) M := {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}, a ≤ z ≤ r}, wobei 0 < a < r.

(je 2 P.)

Lösung:

(i) Die Menge M ist die Menge der Glieder einer konvergenten Folge. Nach Vorlesung ist M eine Nullmenge, d.h. es gilt |M| = 0.

(ii) Für jedes y ∈ ℝ sei M(y) := {x ∈ ℝ| (x, y)^{t} ∈ M}. Im Falle a ≤ y ≤ r gilt dann M(y) = [−\sqrt{r^{2} − y^{2}}, \sqrt{r^{2} − y^{2}}], und sonst gilt M(y) = ∅. Nach dem Satz von Fubini für Inhalte und der Substitution y = r sin u gilt

|M| = ∫_{a}^{r} |M(y)| dy
= ∫_{a}^{r} 2\sqrt{r^{2} − y^{2}} dy
= ∫_{arcsin(a/r)}^{π/2} 2\sqrt{r^{2} − r^{2}(sin u)^{2}} r cos u du

= 2r^{2} ∫_{arcsin(a/r)}^{π/2}(cos u)^{2} du
= 2r^{2} [\frac{1}{2}(sin u)(cos u) + \frac{u}{2}]_{arcsin(a/r)}^{π/2} .

Man beachte nun

sin(arcsin z) = z
cos(arcsin z) = \sqrt{1 − (sin(arcsin z))^{2}}
= \sqrt{1 − z^{2}}

für z ∈ [−1, 1]. Es folgt

|M| = \frac{πr^{2}}{2} − ar\sqrt{1 − (a/r)^{2}} − r^{2} arcsin(a/r) .

(iii) Für jedes z ∈ ℝ sei M(z) := {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| (x, y, z) ∈ M}. Im Falle a ≤ z ≤ r gilt dann M(z) = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| x^{2} + y^{2} ≤ r^{2} − z^{2}} und somit |M(z)| = π(r^{2} − z^{2}). Sonst gilt M(z) = ∅. Nach dem Satz von Fubini für Inhalte folgt

|M| = ∫_{a}^{r} |M(z)| dz
= ∫_{a}^{r} π(r^{2} − z^{2}) dz
= [π(r^{2}z − z^{3}/3]_{a}^{r}
= π (\frac{2}{3} r^{3} − r^{2}a + \frac{1}{3} a^{3}) .

2. Es sei

M := {(x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ ℝ^{n}| x_{1} ≥ 0, …, x_{n} ≥ 0, x_{1} + … + x_{n} ≤ k} ,

wobei k ≥ 0. Zeigen Sie, daß gilt

|M| = \frac{k^{n}}{n!} .

(6 P.)

Lösung: Wir führen Induktion nach n. Der Induktionsanfang ist klar, denn für n = 1 ist M = [0, k], und es folgt |M| = k. Im Induktionsschritt sei die Aussage für n − 1 bewiesen, und wir wollen Sie für n beweisen. Es sei

M(y) := {(x_{1}, …, x_{n−1})^{t} ∈ ℝ^{n−1}| (x_{1}, …, x_{n−1}, y) ∈ M} .

Im Falle 0 ≤ y ≤ k gilt dann

M(y) = {(x_{1}, …, x_{n−1})^{t} ∈ ℝ^{n−1}| x_{1} ≥ 0, …, x_{n−1} ≥ 0, x_{1} + … + x_{n−1} ≤ k − y} ,

und nach Induktionshypthese gilt

|M(y)| = \frac{(k − y)^{n−1}}{(n − 1)!} .

Ansonsten gilt M(y) = ∅. Nach dem Satz von Fubini für Inhalte ergibt sich

|M| = ∫_{0}^{k} |M(y)| dy
= ∫_{0}^{k} \frac{(k − y)^{n−1}}{(n − 1)!} dy

= [−\frac{(k − y)^{n}}{n!} ]_{0}^{k}
= \frac{k^{n}}{n!} .

3. Es seien M ⊆ ℝ^{2} eine Jordan-meßbare Teilmenge, a = (a_{1}, a_{2}, h)^{t} ∈ ℝ^{3} mit h > 0, und K sei der Kegel im ℝ^{3} mit Grundfläche M × {0} und a als Spitze, d.h.

K := \{λ (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ h \end{matrix}) + (1 − λ) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})| λ ∈ [0, 1], \binom{x_{1}}{x_{2}} ∈ M\} .

Bestimmen Sie den Inhalt von K.

(6 P.)

Lösung: Für jedes z ∈ ℝ sei K(z) der Schnitt von K mit der Ebene x_{3} = z, d.h.

K(z) := {(x_{1}, x_{2})^{t} ∈ ℝ^{2}| (x_{1}, x_{2}, z)^{t} ∈ K} .

Also gilt im Falle z ∈ [0, h]

K(z) = \{(z/h)\binom{a_{1}}{a_{2}} + (1 − z/h)\binom{x_{1}}{x_{2}}| \binom{x_{1}}{x_{2}} ∈ M\} ,

denn in der Darstellung

K := \{λ (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ h \end{matrix}) + (1 − λ) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})| λ ∈ [0, 1], \binom{x_{1}}{x_{2}} ∈ M\} .

sind die Punkte mit dritter Koordiante z gegeben durch λ = z/h. Ferner ist K(z) = ∅ im Falle z ∉ [0, h].

Im Falle z ∈ [0, h] geht die Menge K(z) aus M hervor durch eine Streckung um den Faktor 1 − z/h und eine Verschiebung. Genauer ist K(z) das Bild der Abbildung

\begin{matrix}f : M & → & ℝ^{3} \\ x & ↦ & (z/h)(a_{1}, a_{2})^{t} + (1 − z/h)x . \end{matrix}

Es gilt f(x) = Ax + b mit A = ( \begin{matrix}1−z/h & 0 \\ 0 & 1−z/h \end{matrix} ) und b = (a_{1}, a_{2})^{t}. Daher gilt nach Satz 5.4.1

|K(z)| = | det A| · |M| = (1 − z/h)^{2} · |M| .

Mit dem Satz von Fubini für Inhalte folgt

|K| = ∫_{0}^{h} |K(z)| dz
= ∫_{0}^{h}(1 − z/h)^{2} · |M| dz
= |M| ∫_{0}^{h}(1 − z/h)^{2} dz
= |M| [−(1 − z/h)^{3} · (h/3)]_{0}^{h}
= \frac{1}{3} h|M| ,

d.h. das Volumen des Kegels ist gleich \frac{1}{3} mal Höhe mal Grundfäche.

4. Es sei K := {x ∈ ℝ^{4}| ∥x∥ ≤ r} eine Kugel mit Radius r und Mittelpunkt 0. Berechnen Sie den Inhalt von K. Sie dürfen dabei verwenden, daß eine Kugel im ℝ^{3} mit Radius s den Inhalt \frac{4}{3} πs^{3} hat.

(6 P.)

Lösung: Für t ∈ ℝ sei K(t) der Schnitt von K mit der Ebene x_{1} = t, d.h.

K(t) := {(x_{2}, x_{3}, x_{4})^{t} ∈ ℝ^{3}| (t, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{t} ∈ K} .

Also gilt im Falle t ∈ [−r, r]

K(t) = \{y ∈ ℝ^{3}| ∥y∥ ≤ \sqrt{r^{2} − t^{2}}\} ,

d.h K(t) ist eine Kugel im ℝ^{3} mit Radius \sqrt{r^{2} − t^{2}}, und es folgt

|K(t)| = \frac{4}{3} π(r^{2} − t^{2})^{3/2} .

Ferner ist K(t) = ∅ im Falle t ∉ [−r, r].

Nach dem Satz von Fubini für Inhalte und einer Substitution t = r sin u folgt

|K| = ∫_{−r}^{r} |K(t)| dt
= ∫_{−r}^{r} \frac{4}{3} π(r^{2} − t^{2})^{3/2} dt

= \frac{4}{3} π ∫_{−π/2}^{π/2}(r^{2} − r^{2}(sin u)^{2})^{3/2} r cos u du

= \frac{4}{3} π ∫_{−π/2}^{π/2} r^{3}(cos u)^{3}r cos u du

= \frac{4}{3} πr^{4} ∫_{−π/2}^{π/2}(cos u)^{4} du .

Das Integral ∫ (cos u)^{4} du lösen wir mit partieller Integration.

∫ (cos u)^{4} du = (sin u)(cos u)^{3} + 3 ∫ (cos u)^{2}(sin u)^{2} du
= (sin u)(cos u)^{3} + 3 ∫ (cos u)^{2}(1 − (cos u)^{2}); du
= (sin u)(cos u)^{3} + 3 ∫ (cos u)^{2} du − 3 ∫ (cos u)^{4} du .

Löst man dies nach ∫ (cos u)^{4} du auf, so ergibt sich nach dem obigen Lemma

∫ (cos u)^{4} du = \frac{1}{4} (sin u)(cos u)^{3} + \frac{3}{4} ∫ (cos u)^{2} du
= \frac{1}{4}(sin u)(cos u)^{3} + \frac{3}{8}(sin u)(cos u) + \frac{3u}{8} .

Insgesamt erhalten wir also

|K| = \frac{4}{3} πr^{4} ∫_{−π/2}^{π/2}(cos u)^{4} du
= \frac{4}{3} πr^{4} [\frac{1}{4}(sin u)(cos u)^{3} + \frac{3}{8}(sin u)(cos u) + \frac{3u}{8}]_{−π/2}^{π/2}
= \frac{4}{3} πr^{4} \frac{3π}{8}
= \frac{π^{2}}{2} r^{4} .

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05