SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 1. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 22.04.2005, vor den Übungen

Schreibweise: Es bezeichne M^{∘} := M^{∘} den offenen Kern einer Menge M.

1. Geben Sie jeweils M^{∘}, \overline{M}, ∂M und M′ an (ohne Beweis).

(i) M = [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × [a_{3}, b_{3}] ⊆ ℝ^{3}, wobei a_{i} < b_{i} für i = 1, 2, 3. (ii) M = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| 0 < x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| |y| > 1}. (iii) M = ℕ × ℚ ⊆ ℝ^{2}.

(iv) M = ⋃_{n=1}^{∞} [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}) × (0, n) ⊆ ℝ^{2}.

(v) M = \{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} | m, n ∈ ℕ\} ⊆ ℝ.

(1+1+1+2+2 P.)

2. Es seien X ein normierter Raum und M ⊆ X. Zeigen Sie, daß M′ abge-

schlossen ist.

(2 P.)

3. Entscheiden Sie, ob folgende Relationen in einem normierten Raum gelten. Geben Sie jeweils einen Beweis für die Aussage oder ein Gegenbeispiel an.

(i) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}. (ii) \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}. (iii) (A ∪ B)^{∘} = A^{∘} ∪ B^{∘}. (iv) ∂(A ∪ B) ⊆ (∂A) ∪ (∂B).

(v) A^{∘} = \overline{A^{∘}} ^{∘}.

(vi) A′′′ = A′′.

(je 2 P.)

4. Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente reelle Folge mit x_{0} := lim_{n→∞} x_{n}. Zeigen Sie,

daß die Menge M := {x_{n}| n ≥ 0} kompakt ist.

(3 P.)

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05 Tutoriumsaufgaben

1. Geben Sie jeweils M^{∘}, \overline{M}, ∂M und M′ an (ohne Beweis).

(i) M = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| 1 < x^{2} + y^{2} < 4} ∪ {(0, 0)^{t}}.

(ii) M = \{\frac{1}{n}| n ∈ ℕ\} ⊆ ℝ.

2. Entscheiden Sie, ob folgende Relationen in einem normierten Raum gelten. Geben Sie jeweils einen Beweis für die Aussage oder ein Gegenbeispiel an.

(i) \overline{A ∩ B} ⊆ \overline{A} ∩ \overline{B}.

(ii) ∂(A ∩ B) = (∂A) ∩ (∂B).

(iii) (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′.