SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 10. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 24.6.2005, vor den Übungen

1. Es seien G ⊆ ℝ^{3} ein Gebiet, f : G → ℝ eine stetig differenzierbare skalare Funktion, und g, h : G → ℝ^{3} stetig differenzierbare Vektorfelder. Zeigen Sie.

(i) div(g × h) = ⟨h, rot g⟩ − ⟨g, rot h⟩.

(ii) Ist f zweimal stetig differenzierbar, so gilt rot((grad f)^{t}) = 0.

(iii) Ist g zeimal stetig differenzierbar, so gilt div(rot g) = 0.

(je 2 P.)

2. Bestimmen Sie Divergenz und Rotation der Kugelkoordinatentransformation

g(r, φ, θ) = (\begin{matrix}r(cos φ)(cos θ) \\ r(sin φ)(cos θ) \\ r sin θ \end{matrix}) .

(2 P.)

3. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Astroide, die durch die Randkurve γ : \binom{x(t)}{y(t)} = \binom{(cos t)^{3}}{(sin t)^{3}}, t ∈ [0, 2π] begrenzt wird.

(5 P.)

4. Es sei B ⊆ ℝ^{2} der obere Halbkreis um den Ursprung mit Radius 1. Ferner sei γ die positiv orientierte Randkurve von B. Berechnen Sie das Kurvenintegral

∫_{γ}(x^{3} cos y + y^{4} exp(y^{2})) dy + (3x^{2} sin y − 2y + log(x^{4} + 1)) dx .

(5 P.)

5. Es sei B ⊆ ℝ^{2} der Bereich im 1. Quadranten, der von den Geraden y = x, y = 1/x und y = x/4 begrenzt wird. Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes in der Ebene den Inhalt sowie den Schwerpunkt von B.

(Hinweis: Ist γ die positive orientierte Randkurve von B, so gilt |B| = \frac{1}{2} ∫_{γ} x dy − y dx und ∫_{B} x d(x, y) = − ∫_{γ} xy dx.)

(6 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Es seien G ⊆ ℝ^{3} ein Gebiet, f : G → ℝ eine stetig differenzierbare skalare Funktion, und g : G → ℝ^{3} ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Zeigen Sie.

(i) div(fg) = ⟨grad f, g⟩ + f · div g.

(ii) rot(fg) = f · rot g + (grad f)^{t} × g.

2. Bestimmen Sie Divergenz und Rotation der Zylinderkoordinatentransformation

g(r, φ, z) = (\begin{matrix}r cos φ \\ r sin φ \\ z \end{matrix}) .

3. Die Hypozykloide mit drei Spitzen sei definiert durch

(\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 cos t + cos(2t) \\ 2 sin t − sin(2t) \end{matrix}) , t ∈ [0, 2π] .

Berechnen Sie den Inhalt der davon berandeten Fläche. Skizze:

4. Die Zykloide wurde in Blatt 8, Aufgabe 1(i) definiert. Bestimmen Sie Inhalt und Schwerpunkt der von der Zykloide und der x-Achse eingeschlossenen Fläche. Skizze:

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05