SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 2. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik für II Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 29.04.2005, vor den Übungen

1. Es seien a < b ∈ ℝ und X := C[a, b] der normierte Raum der stetigen Funktion [a, b] → ℝ mit der Supremumsnorm ∥f∥ := sup f([a, b]). Zeigen Sie, daß die Abbildung φ : X → ℝ, definiert durch φ(f) := ∫_{a}^{b} f(x) dx, eine Lipschitz-Bedingung erfüllt und stetig ist.

(4 P.)

2. Zeigen Sie, daß die Menge {sin(xy) + e^{x^{2}+y}| x, y ∈ ℝ, x^{2} + y^{2} ≤ 1} ⊆ ℝ ein kompaktes reelles Intervall ist.

(4 P.)

3. Es sei g_{k}(x_{1}, x_{2}) := (x_{1}^{k} + x_{2})/k^{2}, für alle x_{1}, x_{2} ∈ ℝ und alle k ∈ ℕ. Bestimmen Sie möglichst große Mengen D ⊆ ℝ^{2} so, daß die Funktionenreihe ∑_{k=1}^{∞} g_{k} gleichmäßig auf D konvergiert (mit Beweis).

(4 P.)

4. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit.

(i) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x_{1}, x_{2}) := (cos(x_{1} + x_{2}) , log(x_{1}^{2} + e^{x_{2}}))^{t}.

(ii) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases}.

(iii) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases}.

(iv) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(x_{1}x_{2})}{n^{2}} .

(je 2 P.)

5. Für einen Multiindex p = (p_{1}, …, p_{n}) ∈ ℕ_{0}^{n} definieren wir p! := p_{1}!·. . .·p_{n}!. Zeigen Sie, daß für alle x = (x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ ℂ^{n} die Identität

e^{x_{1}+...+x_{n}} = ∑_{p∈ℕ_{0}^{n}} \frac{x^{p}}{p!}

gilt, und die Potenzreihe konvergiert absolut.

(4 P.)

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05 Tutoriumsaufgaben

1. Untersuchen Sie folgende Mengen auf Kompaktheit.

(i) M = {(x, y, z)^{t}| x^{2} + y^{2} + 4z^{2} ≤ 1} ⊆ ℝ^{3}.

(ii) M = {log(x^{2} + 1) sin y| 0 ≤ x ≤ 1, y ∈ ℝ} ⊆ ℝ.

(iii) M = {e^{x}| x ∈ ℝ} ∩ [0, 1] ⊆ ℝ.

2. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit.

(i) f : ℂ^{2} → ℂ^{2}, f(z_{1}, z_{2}) := (e^{z_{1}^{3}z_{2}+z_{2}^{2}} , z_{1} cos z_{2})^{t}.

(ii) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{sin(x_{1}x_{2})}{x_{1}x_{2}}, & falls x_{1}x_{2} ≠ 0 \\ 0, & sonst \end{cases}.

(iii) f : ℝ^{2} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}^{3}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases}.

3. Untersuchen Sie die Funktionenreihe ∑_{k=1}^{∞} k(x_{1}x_{2})^{k} auf gleichmäßige Konvergenz auf der Menge D := \{(x_{1}, x_{2})^{t} ∈ ℝ^{2}| x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < \frac{3}{2}\}.