SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 3. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 5.5.2005, vor den Übungen

1. Bestimmen Sie jeweils die Ableitung der Funktion f.

(i) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x_{1}, x_{2})^{t} ↦ (e^{x_{1}x_{2}} cos x_{2} , x_{1} + x_{2}^{3})^{t}.

(ii) f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ, x ↦ ∥x∥.

(iii) f : ℝ^{n} \ \{0\} → ℝ^{n}, x ↦ \frac{1}{∥x∥} x.

(je 2 P.)

2. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{3} + x_{1}x_{2}^{2}. Für welche e ∈ ℝ^{2} mit ∥e∥ = 1 wird die Richtungsableitung f_{e}(1, 1) maximal bzw. minimal, und was sind diese Extremwerte? (2 P.)

3. (i) Es seien U ⊆ ℝ^{n} und f : U → ℝ^{m} eine Funktion, die differenzierbar im Punkt a ∈ U sei. Der Tangentialraum zur Funktion f an der Stelle a ist definiert durch

T_{f}(a) := \{\binom{x}{y} ∈ ℝ^{n+m}| y = f(a) + f′(a)(x − a)\} .

(Im Falle n = 2 und m = 1 spricht man auch von einer Tangentialebene.) Zeigen Sie, daß gilt

T_{f}(a) = \{z ∈ ℝ^{n+m}| (f′(a) , −E_{m}) · (z − \binom{a}{f(a)}) = 0\} .

(ii) Bestimmen Sie die Tangentialebene zur Funktion f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{3} + x_{2}^{4} an der Stelle (1, 1)^{t}. Geben Sie eine Koordinatengleichung und eine Parameterdarstellung der Ebene an. (je 3 P.)

4. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definiert durch

f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases} .

(i) Zeigen Sie, daß alle Richtungsableitungen f_{e}(x) existieren, für alle x ∈ ℝ^{2} und alle e ∈ ℝ^{2} mit ∥e∥ = 1. Bestimmen Sie speziell die Richtungsableitungen im Punkt x = (0, 0)^{t}.

(ii) Bestimmen Sie den Gradienten von f im Punkt x = (0, 0)^{t}.

(iii) Zeigen Sie, daß die Funktion nicht differenzierbar im Punkt (0, 0)^{t} ist.

(je 2 P.)

5. Berechnen Sie \frac{d}{dx} ∫_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{sin(tx)}{t} dt für x > 0. (4 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung. Bestimmen Sie auch alle Richtungsableitungen im Punkt (0, 0)^{t}.

(i) f : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x, y)^{t} ↦ (x log(x^{2} + y^{2} + 1) , ye^{x} , x)^{t}.

(ii) f : ℝ^{2} → ℝ, (x, y)^{t} ↦ |xy|.

2. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definiert durch

f(x_{1}, x_{2}) := \begin{cases}\frac{x_{1}^{2}x_{2}}{x_{1}^{4} + x_{2}^{2}} , & falls (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0, & sonst \end{cases} .

(i) Zeigen Sie, daß alle Richtungsableitungen f_{e}(x) existieren, für alle x ∈ ℝ^{2} und alle e ∈ ℝ^{2} mit ∥e∥ = 1. Bestimmen Sie speziell die Richtungsableitungen im Punkt x = (0, 0)^{t}.

(ii) Zeigen Sie, daß die Funktion nicht differenzierbar im Punkt (0, 0)^{t} ist.

3. Berechnen Sie \frac{d}{dx} ∫_{e^{x}}^{x^{2}} \frac{e^{t^{2}x}}{t} dt für x > 0.

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05