SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 4. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 12.5.2005, vor den Übungen

1. Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, daß für alle a, b, c, d ∈ [1, e] gilt, daß

|(log a)(log b) − (log c)(log d)| ≤ |a − c| + |b − d| .

(6 P.)

2. Es sei f(x_{1}, x_{2}) := e^{x_{1}} sin x_{2}.

(i) Bestimmen Sie (∇h)^{k}f für k = 0, 1, 2, 3 und h = (h_{1}, h_{2})^{t}. (ii) Zeigen Sie, daß für h_{1}, h_{2} ∈ ℝ gilt, daß

|(e^{h_{1}} sin h_{2}) − h_{2} − h_{1}h_{2}| ≤ e^{h_{1}}(|h_{1}| + |h_{2}|)^{3} .

(je 3 P.)

3. Bestimmen Sie mit Hilfe des vereinfachten Newton-Verfahrens eine Näherungslösung des Gleichungssystems

\begin{matrix}2x^{3}y − x^{2}y^{3} = 0 \\ 3xy^{3} + x^{3}y^{2} − 5 = 0 \end{matrix}

in der Nähe des Punktes (x, y)^{t} = (1, 1)^{t}. Es sei dazu f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definiert durch f(x, y) := (2x^{3}y − x^{2}y^{3}, 3xy^{3} + x^{3}y^{2} − 5)^{t} und A := (f′(1, 1))^{−1}. Man verwende die Rekursionsgleichung

\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}} := \binom{x_{n}}{y_{n}} − A · f(x_{n}, y_{n}) .

Schreibt man dies komponentenweise, so lautet der Maple-Befehl

x[1]:=1; y[1]:=1; for n from 1 to 100 do x[n+1]:=evalf(phi(x[n],y[n]));
y[n+1]:=evalf(psi(x[n],y[n])); end do;

(6 P.)

4. Es seien a < b ∈ ℝ, f : [a, b] → ℝ eine stetige Funktion und 0 < λ < \frac{1}{b−a}. Zeigen Sie, daß es genau eine stetige Funktion x : [a, b] → ℝ gibt, die der Integralgleichung

x(t) = f(t) + λ ∫_{a}^{b} sin(t − s)x(s) ds

genügt.

(6 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, daß für α, β, γ, δ ∈ ℝ gilt |(sin α)(sin β) − (sin γ)(sin δ)| ≤ |α − γ| + |β − δ| .

2. Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades ∑_{k=0}^{2} \frac{(∇h)^{k}f(x)}{k!} für die Funktion f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \sqrt{x_{1} + x_{2} + x_{3}^{2}} im Punkt x = (1, 1, 1)^{t}.

3. Bestimmen Sie mit Hilfe des vereinfachten Newtonverfahrens eine Näherungslösung

des Gleichungssystems

r sin t − rt cos t − 1 = 0
r cos t + rt sin t − r − 1 = 0

mit Startwert (r_{0}, t_{0}) = (2, 1.2). Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05