SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 5. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 20.5.2005, vor den Übungen

1. Untersuchen Sie, ob es ein offenes Intervall I mit 1 ∈ I und zwei in I differenzierbare Funktionen f und g gibt mit f(1) = e, g(1) = 0 und

x^{f(x)} + arctan (xg(x)) = 1
x + f(x) − (f(x))^{g(x)} = e

für alle x ∈ I. Berechnen Sie gegebenenfalls auch g′(1). (6 P.)

2. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x_{1}, x_{2}) = (\begin{matrix}x_{1}^{2} − x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2} \end{matrix}). Weisen Sie nach, daß f in allen Punkten

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ≠ (\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix}) lokal umkehrbar ist. Kann man f sogar global umkehren? (4 P.)

3. Finden Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte^{†} von

f(x, y) = \frac{1}{3}x^{3} − 10x + xy^{2} + 2y^{3} .

Besitzt f ein globales Extremum in der gesamten Ebene? (5 P.)

†Ein stationärer Punkt heißt Sattelpunkt, falls die Hesse-Matrix an diesem Punkt indefinit ist.

4. Begründen Sie, daß es Punkte auf der Einheitskugel x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 gibt, die von dem Punkt (1, 1, 1)^{t} einen kleinsten bzw. größten Abstand haben, und finden Sie diese.

(3 P.)

5. Untersuchen Sie, ob die Funktion f(x, y) = 2x − y auf der Menge

{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2} : x^{2} + 2y^{2} ≤ 18}

ein globales Maximum besitzt, und berechnen Sie gegebenenfalls dieses Maximum.

(5 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Untersuchen Sie, ob es ein offenes Intervall I mit 0 ∈ I und zwei in I differenzierbare

Funktionen f und g gibt mit f(0) = g(0) = 1 und

e^{f(x)−g(x)} = f(x) + x\sqrt{g(x)}
(f(x))^{g(x)} = (g(x))^{xf(x)}

für alle x ∈ I. Berechnen Sie gegebenenfalls auch f′(0) und g′(0).

2. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(φ, ϑ) = (\begin{matrix}cos φ cos ϑ \\ sin φ cos ϑ \end{matrix}). Weisen Sie nach, daß f in allen Punkten \{(φ, ϑ)^{t} ∈ ℝ^{2} : ϑ ≠ \frac{kπ}{2} , k ∈ ℤ\} lokal umkehrbar ist. Berechnen Sie auch (f^{−1})′ (\frac{1}{2}, 0), wobei f^{−1} die lokale Umkehrfunktion bezüglich des Punktes (φ, ϑ)^{t} = (0, \frac{π}{3})^{t} bezeichnet.

3. Finden Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte von

f(x, y) = x^{2} − 4x + xy^{2} + y^{3} .

Besitzt f ein globales Extremum in der gesamten Ebene?

4. Untersuchen Sie, ob die Funktion f(x, y) = e^{x(y+1)} auf der Menge

{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1}

ein globales Minimum besitzt, und berechnen Sie gegebenenfalls dieses Minimum. Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05