SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 6. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 27.5.2005, vor den Übungen

1. Bestimmen Sie jeweils den Inhalt der Menge M.

(i) M := \{\frac{1}{n}| n ∈ ℕ\}.

(ii) M := {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| x^{2} + y^{2} ≤ r^{2}, a ≤ y ≤ r}, wobei 0 < a < r.

(iii) M := {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}, a ≤ z ≤ r}, wobei 0 < a < r.

(je 2 P.)

2. Es sei

M := {(x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ ℝ^{n}| x_{1} ≥ 0, …, x_{n} ≥ 0, x_{1} + … + x_{n} ≤ k} ,

wobei k ≥ 0. Zeigen Sie, daß gilt

|M| = \frac{k^{n}}{n!} .

(6 P.)

3. Es seien M ⊆ ℝ^{2} eine Jordan-meßbare Teilmenge, a = (a_{1}, a_{2}, h)^{t} ∈ ℝ^{3} mit h > 0, und K sei der Kegel im ℝ^{3} mit Grundfläche M × {0} und a als Spitze, d.h.

K := \{λ (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ h \end{matrix}) + (1 − λ) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})| λ ∈ [0, 1], \binom{x_{1}}{x_{2}} ∈ M\} .

Bestimmen Sie den Inhalt von K.

(6 P.)

4. Es sei K := {x ∈ ℝ^{4}| ∥x∥ ≤ r} eine Kugel mit Radius r und Mittelpunkt 0. Berechnen Sie den Inhalt von K. Sie dürfen dabei verwenden, daß eine Kugel im ℝ^{3} mit Radius s den Inhalt \frac{4}{3} πs^{3} hat.

(6 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Bestimmen Sie jeweils den Inhalt der Menge M.

(i) M := {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}| x^{2} + y^{2} ≤ r^{2}, (x + r)^{2} + y^{2} ≥ 2r^{2}}, wobei r > 0. (”Möndchen des Hippokrates“)

(ii) M := {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}, x ≤ y ≤ z}, wobei r > 0.

2. Aus der Kugel {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}} wird das zylinderische Loch {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}| x^{2} + y^{2} ≤ rx} herausgebohrt. Was ist der Inhalt der Restmenge?

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05