SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 7. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 3.6.2005, vor den Übungen

1. Es bezeichne B das Dreieck im ℝ^{2} mit den Endpunkten (0, 0)^{t}, (1, 0)^{t} und (1, 1)^{t}. Berechnen Sie

(i) ∫_{B} (x^{2} + y^{2}) d(x, y) (ii) ∫_{B} \frac{sin x}{x} d(x, y) .

(je 2 P.)

2. Es sei B = \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 4, y ≥ 1\} . Berechnen Sie ∫_{B} \frac{x}{y} d(x, y) .

(3 P.)

3. Berechnen Sie ∫_{B} f(x) dx für

(i) f(x_{1}, x_{2}) = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} e^{−\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} , B die rechte Hälfte der Einheitskreisscheibe

(ii) f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \frac{1}{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} , B = \{(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) ∈ ℝ^{3} : 1 ≤ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} ≤ 4\} .

(je 4 P.)

4. Es seien a, r ≥ 0 und

\begin{aligned}K_{r} & := & \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ r^{2}, x, y ≥ 0\} \\ Q_{a} & := & \{(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a\} . \end{aligned}

(i) Rechnen Sie nach, daß

∫_{K_{r}} e^{−(x^{2}+y^{2})} d(x, y) = \frac{π}{4} (1 − e^{−r^{2}})
∫_{Q_{a}} e^{−(x^{2}+y^{2})} d(x, y) = (∫_{0}^{a} e^{−x^{2}} dx)^{2} .

(ii) Gewinnen Sie hieraus die Identität des Gaußschen Fehlerintegrals

∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}} dx = \sqrt{π} .

(5+4 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Es bezeichne B das Dreieck im ℝ^{2} mit den Endpunkten (0, 0)^{t}, (1, 0)^{t} und (1, −1)^{t}. Berechnen Sie

(i) ∫_{B} (x + y^{2}) d(x, y) (ii) ∫_{B} e^{−x^{2}} d(x, y) .

2. (i) Es sei a < b und f : [a, b] → ℝ eine stetige, nichtnegative Funktion. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche um die x-Achse rotiert.

(ii) Wenden Sie das Ergebnis aus (i) auf die Funktion f(x) = cos x, x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] , an.

3. Berechnen Sie ∫_{B} f(x) dx für

(i) f(x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} , B = \{(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2} : x_{1} ≥ 0, 1 ≤ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 3\}

(ii) f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 1 , B = \{(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) ∈ ℝ^{3} : \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{c^{2}} ≤ 1\} (a, b, c > 0) .

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05