SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 8. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 10.6.2005, vor den Übungen

1. Bestimmen Sie jeweils die Länge der Kurve γ mit der Parameterdarstellung x(t).

(i) x(t) = (t − sin t, 1 − cos t)^{t}, t ∈ [0, 2π]. (”Zykloide“) (ii) x(t) = (r cos t, r sin t, ht)^{t}, t ∈ [0, 2πn], wobei n ∈ ℕ. (Schraubenlinie)

(je 2 P.)

2. Die Kardioide (oder auch Herzkurve) ist eine Kurve im ℝ^{2}, definiert durch die Polarkoordinatengleichung r = 1 + cos φ. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung dieser Kurve sowie ihre Länge.

(4 P.)

3. Bestimmen Sie jeweils das Kurvenintegral ∫_{γ} f^{t}(x) dx. Ist das Vektorfeld f konservativ? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion von f.

(i) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x, y) = (y, y − x)^{t}, γ : x(t) = (t, t^{2})^{t}, t ∈ [0, 2]. (ii) f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, f(x, y, z) = (3x^{2}y^{2}z +1, 2x^{3}yz +z, x^{3}y^{2} +y)^{t}, γ : x(t) =

(e^{t}, cos t, t^{2} + 1)^{t}, t ∈ [0, π].

(2+4 P.)

4. Es sei G := {(x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3}| x ≠ y}. Für welche Werte von a erfüllt das Vektorfeld f : G → ℝ^{3} definiert durch

f(x, y, z) = (\frac{ay}{(x − y)^{2}} , \frac{2x}{(x − y)^{2}} + 1, z)^{t}

die Integrabilitätsbedingungen? Ist das Vektorfeld f in diesem Fall konservativ? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion von f.

(4 P.)

5. Es sei f : ℝ^{3} → ℝ^{3} definiert durch f(x) := log(1 + ∥x∥^{2})x.

(i) Ist das Vektorfeld f konservativ? (ii) Für jedes y ∈ ℝ^{3} sei γ_{y} die Verbindungsstrecke von 0 nach y. Bestim-

men Sie ∫_{γ_{y}} f^{t}(x) dx.

(iii) Bestimmen Sie mit Teil (ii) eine Stammfunktion von f.

(je 2 P.)

Tutoriumsaufgaben

1. Bestimmen Sie jeweils die Länge der Kurve γ mit der Parameterdarstellung x(t).

(i) x(t) = (t, t^{2}, t^{3})^{t}, t ∈ [0, 2].

(ii) x(t) = e^{−t}(cos t, sin t, 1)^{t}, t ∈ [0, T]. (Was passiert bei T → ∞?)

2. Bestimmen Sie jeweils das Kurvenintegral ∫_{γ} f^{t}(x) dx für die Kurve γ mit der Parameterdarstellung x(t). Ist das Vektorfeld f konservativ? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion von f.

(i) f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x, y) = \binom{x^{2} + y}{y^{2} − xy}, x(t) = \binom{t}{t^{2}}, t ∈ [0, 1].

(ii) f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, f(x, y, z) = (\begin{matrix}−z^{3} sin x + y^{2} cos x \\ 2y sin x + z^{2} \\ 3z^{2} cos x + 2zy \end{matrix}), x(t) = (\begin{matrix}t^{4} \\ e^{t} \\ t^{2} + 1 \end{matrix}),

t ∈ [0, 1].

(iii) f : ℝ^{3} \ \{0\} → ℝ^{3}, f(x) = ∥x∥^{−3}x, x(t) = (\begin{matrix}cos t \\ sin t \\ 2 sin \frac{t}{2} \end{matrix} ), t ∈ [0, 2π].

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05