SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin, Markus Tentler 9. Übungsblatt

Übungen zur Höheren Mathematik II für Elektrotechniker Abgabe: Freitag, 17.6.2005, vor den Übungen

1. a) Berechnen Sie die Fourierreihen der durch (i) f(t) = t^{2} für −π ≤ t ≤ π (ii) f(t) = |sin t| für −π ≤ t ≤ π definierten 2π−periodischen Funktionen f. Was läßt sich über die Konvergenz dieser Reihen aussagen?

b) Finden Sie die Werte der Reihen

(i) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} (ii)^{⋆} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)^{3}} .

(10+2+4^{⋆} P.)

2. Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe der durch

f(t) = e^{t} für 0 ≤ t < 2π

definierten 2π−periodischen Funktion f. Welchen Wert hat diese Reihe bei Null? (4 P.)

3. Es sei f eine 2π−periodische Funktion definiert durch f(t) = e^{t^{2}} für −π ≤ t ≤ π und bezeichne a_{k}, b_{k} die Fourierkoeffizienten von f. Finden Sie ein ℓ ∈ ℕ so, daß die Folgen (k^{ℓ} a_{k})_{k≥0} und (k^{ℓ} b_{k})_{k≥1} beschränkt sind.

(3 P.)

4. Schreiben Sie für t ≠ \{π +2ℓπ, ℓ ∈ ℤ\} die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} (cos(kt) + i sin(kt))

als Potenzreihe, also

∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} (cos(kt) + i sin(kt)) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}z^{k}

mit geeigneten Koeffizienten p_{k} ∈ ℂ und z = z(t) ∈ ℂ und interpretieren Sie das Ergebnis.

(5 P.)

Die Vorlesung am Donnerstag, den 16.06.05, fällt aus.

Tutoriumsaufgaben

1. Stellen Sie die 2π−periodische Funktion f definiert durch

f(t) = \{ \begin{matrix}−1 & für & −π ≤ t < 0 \\ 1 & für & 0 ≤ t < π \end{matrix}

im Intervall [−2π, 3π] graphisch dar und berechnen Sie ihre Fourierreihe. Welche Werte hat diese Reihe an den Stellen kπ (k ∈ ℤ)?

2. Es sei f eine 2π−periodische Sägezahnfunktion definiert durch

f(t) = \frac{π − t}{2} für 0 ≤ t < 2π.

Berechnen Sie die Fourierreihe von f und untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz.

3. Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe der durch

f(t) = \{ \begin{matrix}π cos t & für & 0 ≤ t ≤ \frac{π}{2} \\ 0 & für & \frac{π}{2} < t < 2π \end{matrix}

definierten 2π−periodischen Funktion f und geben Sie auch die reelle Darstellung an.

4. Es seien a_{k}, b_{k} die Fourierkoeffizienten der 2π−periodischen Funktion f definiert durch f(t) = cosh t für −π ≤ t ≤ π. Untersuchen Sie (a_{k})_{k≥0} und (b_{k})_{k≥1} auf Beschränktheit.

Die Übungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse: www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/mitarbeiter/martin/ss05