SS 2005 Prof. Dr. W. Balser Andreas Martin

Vordiplomklausur zur Höheren Mathematik I/II für Elektrotechniker Montag, 29.8.05

1. Berechnen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil sowie den Betrag folgender komplexer Zahlen.

(i) z := exp(2 + iπ/2). (ii) w := \frac{2 + 3i}{2 + i}.

(je 2 P.)

2. Für welche α ∈ ℝ ist das Gleichungssystem

\begin{aligned}x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} & = & 1 \\ 3x_{1} + x_{2} & = & 1 \\ x_{1} − 3x_{2} − 6x_{3} & = & α \end{aligned}

lösbar? Bestimmen Sie für dieses α die Lösungsmenge.

(10 P.)

3. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{(n + 1)^{3}} . (ii) ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n} log n}{n} .

(je 3 P.)

4. Berechnen Sie jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihe.

(i) ∑_{n=1}^{∞} n^{3}2^{−n}x^{n}. (ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}.

(je 4 P.)

5. Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale.

(i) ∫_{0}^{1} sin(\sqrt{x}) dx. (ii) ∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} − 1)} dx.

(je 4 P.)

6. Es sei

A := (\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3} .

(i) Bestimmen Sie die Eigenwerte und möglichst viele linear unabhängige Eigenvektoren der Matrix A.

(ii) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S und eine Diagonalmatrix D

derart, daß S^{T}AS = D.

(je 5 P.)

7. Finden Sie alle lokalen Minima und Maxima der Funktion f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = 6xy − 3y^{2} − 2x^{3}. (8 P.)

8. Bestimmen Sie den volumengrößten Quader innerhalb des Ellipsoids mit Halbachsen a, b, c > 0, d.h. finden Sie das Maximum der Funktion f(x, y, z) = 8xyz, unter der Nebenbedingung

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 .

(8 P.)

9. Es sei B := {(x_{1}, x_{2})^{t} ∈ ℝ^{2} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 4, x_{1} ≤ x_{2}}. Berechnen Sie

∫_{B} x_{1}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{3/2} d(x_{1}, x_{2}) .

(10 P.)

10. Die 2π-periodische Funktion f : ℝ → ℝ sei definiert durch

f(t) := t^{3}, −π ≤ t < π .

(i) Berechnen Sie die Fourierreihe von f. (ii) Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie ihren Wert

an der Stelle π.

(je 5 P.)

11. Die Kurve γ sei definiert durch

γ : x(t) = (\begin{matrix}cos t \\ sin t \\ 0 \end{matrix}) , t ∈ [0, 2π] ,

und das Vektorfeld f sei definiert durch

f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (\begin{matrix}e^{x_{1}} − x_{2} + 3x_{1}^{2}x_{2} \\ x_{1} + x_{1}^{3} + x_{2}^{2}e^{x_{2}} + e^{x_{3}} \\ x_{2}e^{x_{3}} \end{matrix} ) .

Berechnen Sie das Kurvenintegral ∫_{γ} f^{T}(x) dx, indem Sie den Stokesschen Integralsatz auf die obere Hälfte der Einheitssphäre anwenden. (10 P.)

12. Bei einem Glücksspiel werfe man 2 ideale Würfel. Der Gewinn X sei definiert als 0, falls mindestens eine 1 oder 2 auftritt, und als die Summe der Augenzahlen sonst. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) des Gewinns. (10 P.)