WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

0. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1=3 P) Sei t ∈ ℝ eine relle Zahl und A die Matrix

A = (\begin{matrix}cos t & − sin t \\ sin t & cos t \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

(b) Diagonalisieren Sie A, d.h. bestimmen Sie eine invertierbare Matrix B so dass BAB^{−1} eine Diagonal-Matrix ist. Kann man B mit rellen Einträgen wählen?

(c) Berechnen Sie A^{n} für alle ganzen Zahlen n ∈ ℤ. Für welche Werte von t gibt es ein n ∈ ℤ, n ≠ 0, so dass A^{n} die Identitätsmatrix ist?

Aufgabe 2: (1/2+1/2+1+1=3 P) Sei wieder t ∈ ℝ und

A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & t \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

(b) Für welche Werte von t ist A diagonalisierbar?

(c) Sei V = ℝ^{2} der 2-dimensionale reelle Standard-Vektorraum und φ : V → V die von der Matrix A induzierte lineare Abbildung. Finden Sie einen eindimensionalen Unterraum W ⊂ V, unabhängig von t, sodass φ(W) ⊂ W. Bestimmen Sie die von φ induzierte lineare Abbildung

V/W → V/W, v + W ↦ φ(v) + W.

(Bem.: da V/W eindimensional ist, ist diese Abbildung durch ein Skalar gegeben.)

(d) Für welche Werte von t gibt es ein n ∈ ℤ, n ≠ 0, so dass A^{n} die Identitätsmatrix ist?

Aufgabe 3: (2+2+2=6 P) Es seien e_{1}, …, e_{8} ∈ ℝ^{3} die acht Ecken eines Würfels im euklidischen Raum:

\begin{aligned}e_{1} & = & (−1, −1, −1) \\ e_{2} & = & (1, −1, −1) \\ e_{3} & = & (−1, −1, 1) \\ e_{4} & = & (1, −1, 1) \end{aligned}  \begin{aligned}e_{5} & = & (−1, 1, −1) \\ e_{6} & = & (1, 1, −1) \\ e_{7} & = & (−1, 1, 1) \\ e_{8} & = & (1, 1, 1) \end{aligned}

Sei φ_{1} : ℝ^{3} → ℝ^{3} die Rotation um die y-Achse, die den Würfel in sich überführt und auf den Ecken e_{1}, …, e_{8} die Permutation

σ_{1} = (1 2 4 3) (5 6 8 7)

induziert. Weiterhin sei L ⊂ ℝ^{3} die Diagonalachse des Würfels, die die Ecken e_{1}, e_{8} enthält und φ_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{3} die Rotation um L, die die folgende Permutation induziert:

σ_{2} = (2 3 5) (4 7 6).

(a) Stellen Sie φ_{1}, φ_{2} durch Matrizen A_{1}, A_{2} dar.

(b) Berechnen Sie φ_{1} ∘φ_{2} und φ_{2} ∘φ_{1} und die dazugehörenden Permutationen.

(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A_{1}, A_{2}, A_{1}A_{2} und A_{2}A_{1} (Hinweis: verwende ein geometrisches Argument, keine Rechnung).

Abgabe: am Donnerstag, 27.10. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).