WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

1. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1=3 P) Seien G und H Gruppen und φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a) Das Bild φ(G) von φ ist eine Untergruppe von H.

(b) Der Kern φ^{−1}(e) von φ ist eine Untergruppe von G.

(c) Der Homomorphismus φ ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem neutralen Element besteht.

Aufgabe 2: (1+1+2=4 P) Seien G_{1} und G_{2} Gruppen. Zeigen Sie:

(a) Das kartesische Produkt G_{1} × G_{2} ist mit der Verknüpfung

(a_{1}, b_{1}) ∘ (a_{2}, b_{2}) ↦ (a_{1} ∘ a_{2}, b_{1} ∘ b_{2})

eine Gruppe.

(b) Ist H eine kommutative Gruppe und sind φ_{1} : G_{1} → H und φ_{2} : G_{2} → H Gruppenhomomorphismen, so ist die Abbildung

G_{1} × G_{2} → H, (a_{1}, a_{2}) ↦ φ_{1}(a_{1}) ∘ φ_{2}(a_{2})

wieder ein Gruppenhomomorphismus.

(c) Die Aussage (b) wird falsch, wenn man die Voraussetzung, dass H kommutativ ist, fallenlässt (Gegenbeispiel!).

Aufgabe 3: (1+1+1+2=5 P) Sei n ≥ 3. Wir definieren die Permutationen

r := ( 1 2 ⋯ n)

und

s := \{ \begin{matrix}( 1 n) ( 2 n−1 ) ⋯ ( m m+1 ), & für n = 2m, \\ ( 1 n−1 ) ( 2 n−2 ) ⋯ ( m m+1 ), & für n = 2m + 1. \end{matrix}

als Elemente der Gruppe S_{n}. Die Diedergruppe der Ordunung 2n ist definiert als die von r und s erzeugte Untergruppe von S_{n}. Zeigen Sie:

(a) Es gelten die Relationen

r^{n} = s^{2} = Id, srs^{−1} = r^{−1}.

(b) Die von r erzeugte zyklische Untergruppe Z ⊂ D_{n} ist ein Normalteiler der Ordnung |Z| = n und vom Index [D_{n} : Z] = 2. Insbesondere hat D_{n} genau 2n Elemente.

(c) Die von s erzeugte Untergruppe H ⊂ D_{n} ist kein Normalteiler. Die Ab-

bildung

Z → G/H, r^{k} ↦ r^{k}H

ist eine Bijektion. Insbesonder hat jedes Element von D_{n} eine eindeutige Darstellung der Form r^{k}s^{j} mit k ∈ {0, …, n − 1} und j ∈ {0, 1}.

(d) Nun sei n eine gerade Zahl. Bestimmen Sie die Menge aller Konjugiertenklassen von D_{n}.

Aufgabe 4: (1+1+2=4 P) Für n ≥ 3 sei T_{n} ⊂ ℝ^{2} das reguläre n-Eck mit den Ecken

P_{k} := ( cos \frac{2π(k − 1)}{n}, sin \frac{2π(k − 1)}{n} ) ∈ ℝ^{2}, k = 1, …, n.

Sei S(T_{n}) die volle Symmetriegruppe von T_{n}. Nach der Vorlesung besteht S(T_{n}) aus den Elementen der orthogonalen Gruppe O_{2}, deren zugehörige lineare Transformation des ℝ^{2} die Ecken P_{k} untereinander permutiert. Insbesondere erhält man einen injektiven Gruppenhomomorphismus S(T_{n}) ↪ S_{n}.

(a) Bestimmen Sie Elemente aus S(T_{n}), die auf die Elemente r, s ∈ S_{n} (siehe Aufgabe 3) abgebildet werden.

(b) Zeigen Sie: Das Bild von S(T_{n}) in S_{n} ist die Diedergruppe D_{n}.

(c) Bestimmen Sie für jede Konjugiertenklasse von S(T_{n}) einen Vertreter, in Form einer Drehung (um einen gewissen Winkel) oder als Spiegelung (an einer gewissen Gerade).

Abgabe: am Donnerstag, 3.11. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).