WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

10. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1+1=4 P)

(a) Bestimmen Sie für jede natürliche Zahl n ein irreduzibles Polynom f_{n} ∈ ℚ[X] vom Grad n.

(b) Sei ℚ̄ der Körper der algebraischen Zahlen (d.h. der komplexen Zahlen, die algebraisch über ℚ sind). Zeigen Sie: die Erweiterung ℚ̄/ℚ ist algebraisch, aber nicht endlich. (Hinweis: benutzen Sie (a) und den Gradsatz; das ist Satz III.1.3 der Vorlesung oder Satz 3.2.5 bei Lütkebohmert.)

(c) Sei f ∈ ℝ[X] ein über ℝ irreduzibles Polynom. Dann ist der Grad von f entweder 1 oder 2. (Hinweis: benutzen Sie [ℂ : ℝ] = 2.)

(d) Schliessen Sie aus (c): jedes reelle Polynom ℝ[X] von ungeradem Grad hat eine reelle Nullstelle.

Aufgabe 2: (1+1+1+1=4 P) Für n ∈ ℕ sei ζ_{n} := exp(2πi/n),

ϕ_{n} = ∏_{a∈(ℤ/n)^{×}}(X − ζ_{n}^{a}) = \frac{X^{n} − 1}{∏_{d|n,d<n} ϕ_{d}}

das nte Kreisteilungspolynom und K_{n} := ℚ[ζ_{n}] ⊂ ℂ der nte Kreisteilungskörper.

(a) Berechnen Sie ϕ_{n} für n ≤ 10.

(b) Sei p eine Primzahl und k ∈ ℕ. Zeigen Sie:

ϕ_{p^{k}} = X^{(p−1)p^{k−1}} + X^{(p−2)p^{k−1}} + ⋯ + 1.

(c) Sei α_{n} := ζ_{n} + ζ_{n}^{−1} = 2 cos(2π/n). Zeigen Sie:

[K_{n} : ℚ[α_{n}]] = 2.

(d) Angenommen, ϕ_{n} ist irreduzibel. Zeigen Sie, dass es für jedes a ∈ (ℤ/n)^{×} genau einen Körperautomorphismus

σ_{a} : K_{n} →^{∼} K_{n}

gibt mit σ_{a}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{a}. Warum ist die Voraussetzung, dass ϕ_{n} irreduzibel ist, wichtig?

Aufgabe 3: (1+1+1+1=4 P) Sei nun ζ := ζ_{9} und α = α_{9} := ζ + ζ^{−1} wie in Aufgabe 2.

(a) Bestimmen Sie ein Polynom g ∈ ℚ[X] vom Grad 3, das α als Nullstelle hat. (Hinweis: schreiben Sie die Elemente 1, α, α^{2}, α^{3} des Körpers ℚ[ζ] als Linearkombinationen von ζ^{3}, …, ζ^{−3}. Finden Sie eine nichttriviale Relation zwischen diesen Elementen.)

(b) Zeigen Sie: g ist irreduzibel über ℚ.

(c) Schliessen Sie aus (b) und Aufgabe 2 (c):

[ℚ[α] : ℚ] = 3, [ℚ[ζ] : ℚ] = 6.

Insbesondere ist das Kreisteilungspolynom ϕ_{9} irreduzibel.

(d) Zeigen Sie:

ℚ[ζ] = ℚ[α, ζ^{3}].

(Hinweis: ζ^{3} = ζ_{3} ist eine dritte Einheitswurzel.)

Abgabe: am Donnerstag, den 19.1. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).