WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

11. Übungsblatt

Die Punkte dieses Übungsblattes sind Bonuspunkte!

Aufgabe 1: (1+1+1=3 P) Sei wie üblich ζ_{n} := exp(2πi/n) ∈ ℂ. Zeigen Sie:

(a) Sind n, m teilerfremd, so gilt

ℚ[ζ_{nm}] = ℚ[ζ_{n}, ζ_{m}]

(als Unterkörper von ℂ).

(b) Sind n, m teilerfremd, und sind sowohl das reguläre n- als auch das reguläre m-Eck konstruierbar, so ist auch das reguläre nm-Eck konstruierbar. (Geometrische Argumente sind genauso erlaubt wie körpertheoretische.)

(c) Die Aussagen in (a) und (b) sind i.A. falsch ohne die Annahme, dass n und m teilerfremd sind.

Aufgabe 2: (1+1+1+1=4 P)

(a) Bestimme das Minimalpolynom von α := ζ_{5} + ζ_{5}^{−1} über ℚ.

(b) Bestimme das Minimalpolynom von ζ_{5} über dem Körper K := ℚ[α].

(c) Zeige:

ℚ[ζ_{8}] = ℚ[i, \sqrt{2}].

(d) Schließe aus (a)-(c): die Kreisteilungspolynome ϕ_{5} und ϕ_{8} sind irreduzibel über ℚ.

Aufgabe 3: (1+1+1+2=5 P) Sei

f := X^{3} + 2X + 2 ∈ 𝔽_{3}[X],

K/𝔽_{3} ein Zerfällungskörper von f und α ∈ K eine Nullstelle, f(α) = 0. Zeigen Sie:

(a) Das Polynom f ist irreduzibel über 𝔽_{3}. Daher ist K ein (der) Körper mit 27 Elementen.

(b) Es gilt α^{13} = 1. (Hinweis: benutze 13 = 8 + 4 + 1.)

(c) In K[X] hat man folgende Zerlegungen:

ϕ̄_{13} := \frac{X^{13} − 1}{X − 1} = ∏_{i=1}^{12}(X − α^{i})

und

f = (X − α)(X − α^{3})(X − α^{9}).

(Hinweis: die Abbildung β ↦ β^{3} ist ein Automorphismus der Erweiterung K/𝔽_{3}.)

(d) Bestimme einen von f verschiedenen irreduziblen Faktor g ∈ 𝔽_{3}[X] von ϕ̄_{13} (es reicht nicht, die Zerlegung von g in K[X] anzugeben!).

Abgabe: am Donnerstag, den 26.1. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).