WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

12. Übungsblatt

Aufgabe 1: (6 · 1 P) Sei ζ = ζ_{7} = exp(2πi/7) und K := ℚ[ζ]. Wir nehmen an, dass K/ℚ eine Galois-Erweiterung ist und dass es einen Gruppenisomorphismus

(ℤ/7)^{×} →^{∼} Gal(K/ℚ), a ↦ σ_{a}

gibt, der bestimmt ist durch die Gleichung σ_{a}(ζ) = ζ^{a}.

(a) Bestimmen Sie alle Untergruppen von (ℤ/7)^{×}.

(b) Sei α := ζ + ζ^{−1} ∈ K. Bestimmen Sie alle Elemente a ∈ (ℤ/7)^{×} mit σ_{a}(α) = α.

(c) Sei

β := ζ + ζ^{2} − ζ^{3} + ζ^{4} − ζ^{5} − ζ^{6} ∈ K.

Bestimmen Sie alle Elemente a ∈ (ℤ/7)^{×} mit σ_{a}(β) = β.

(d) Zeigen Sie: [ℚ[α] : ℚ] = 3, [ℚ[β] : ℚ] = 2 und K = ℚ[α, β]. (Hinweis: benutzen Sie den Hauptsatz der Galoistheorie.)

(e) Bestimmen Sie die Minimalpolynome über ℚ von α und β. (Hinweis: vergleiche mit Aufgabe 3 (a) vom 10. Blatt.)

(f) Ist ℚ[α]/ℚ eine Galois-Erweiterung? Wenn ja, bestimmen Sie ihre Galois-Gruppe.

Aufgabe 2: (1+1+1=3 P) Die Diskriminante des Polynoms f = X^{3} +pX +q ∈ ℚ[X] ist D = −4p^{3} − 27q^{2}. Zeigen Sie:

(a) Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(i) f hat drei verschiedene reelle Nullstellen.

(ii) D > 0.

(iii) Die Ableitung f′ hat zwei reelle Nullstellen α, β ∈ ℝ mit f(α) > 0 und f(β) < 0.

(b) Angenommen, f sei irreduzibel über ℚ und habe mindestens eine nichtreelle Nullstelle. Dann ist die Galoisgruppe von f isomorph zu S_{3}.

(c) Bestimmen Sie die Galoisgruppen von

X^{3} + X + 1, X^{3} + X^{2} − 2X − 1, X^{3} + X^{2} − 2X − 3.

Aufgabe 3: (1+1+1+1=4 P) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

(a) Sei G eine Gruppe, die auf der Menge X = {1, 2, 3, 4} treu und transitiv operiert. Dann ist G genau dann isomorph zu S_{4}, wenn es ein Element x ∈ X gibt mit nichttrivialem Stabilisator, G_{x} ≠ {1}.

(b) Jeder faktorielle Ring ist ein Hauptidealring.

(c) Sei K ein Körper, L/K eine Körpererweiterung, f, g ∈ K[X] nichtkonstante Polynome und α ∈ L eine gemeinsame Nullstelle von f und g. Wenn f irreduzibel über K ist, dann ist f ein Teiler von g in dem Ring K[X].

(d) Sei L/K eine endliche Körpererweiterung und K ⊂ M ⊂ L ein Zwischenkörper. Wenn L/M und M/K Galoiserweiterungen sind, dann ist auch L/K eine Galoiserweiterung.

Abgabe: am Donnerstag, den 2.2. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).