WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

13. Übungsblatt

keine Abgabe

Aufgabe 1: Sei G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n.

(a) Zeigen Sie: für jeden Teiler d von n existiert eine Untergruppe H ⊂ G mit d Elementen. (Hinweis: benutzen Sie den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen, um das Problem auf zyklische Gruppen zurückzuführen.)

(b) Folgern Sie aus (a): wenn n = p_{1}p_{2} · . . . · p_{m} die Zerlegung von n in Primfaktoren ist, dann gibt es eine Folge von Untergruppen

{1} = H_{0} ⊂ H_{1} ⊂ ⋯ ⊂ H_{m} = G

mit |H_{i}| = p_{1} · . . . · p_{i}.

(c) Nun sei G = (ℤ/17)^{×}, also gilt n = 16 = 2^{4}. In diesem Fall ist die Folge von Untergruppen H_{i} in (b) eindeutig, und jedes H_{i} ist zyklisch. Bestimmen Sie einen Erzeuger von H_{i}, für i = 1, …, 4.

Aufgabe 2: Seien G_{1}, G_{2} endliche Gruppen (nicht notwendigerweise abelsch) und H ⊂ G_{1} × G_{2} eine Untergruppe. Wir bezeichnen für i = 1, 2 mit p_{i} : G_{1} × G_{2} → G_{i} die Projektion auf den iten Faktor. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:

Wenn p_{i}(H) = G_{i} für i = 1, 2, dann gilt H = G_{1} × G_{2}.

Aufgabe 3: Sei ζ := exp(2πi/12) und L = ℚ[ζ] der Körper der 12ten Einheitswurzeln. Nach der Vorlesung gibt es einen Gruppenisomorphismus

(ℤ/12)^{×} →^{∼} Gal(L/ℚ),

der ein a ∈ (ℤ/12)^{×} auf einen Automorphismus σ_{a} mit σ_{a}(ζ) = ζ^{a} abbildet.

(a) Zeigen Sie: L = ℚ[i, \sqrt{3}] ⊂ ℂ.

(b) Was ist der Effekt von σ_{a} auf den Elementen i und \sqrt{3}, für a = 5, 7, 11?

(c) Bestimme die Untergruppe von Gal(L/ℚ), die zu dem Teilkörper ℚ[\sqrt{3}] ⊂ L gehört.

(d) Bestimme den Fixkörper L^{⟨σ_{7}⟩} der von σ_{7} erzeugten Untergruppe.

(e) Zeigen Sie: α := i + \sqrt{3} ist ein primitives Element, d.h. L = ℚ[α].

Aufgabe 4: Sei q = p^{n} eine Primzahlpotenz, 𝔽_{q} der Körper mit q Elementen.

(a) Zeigen Sie: Die Erweiterung 𝔽_{q}/𝔽_{p} ist eine Galois-Erweiterung. Der Automorphismus α ↦ α^{p} ist ein Erzeuger der Galois-Gruppe Gal(𝔽_{q}/𝔽_{p}). Insbesondere gilt:

Gal(𝔽_{q}/𝔽_{p}) ≅ ℤ/n.

(b) Bestimme alle Teilkörper M ⊂ 𝔽_{q} (in Abhängigkeit von n).

(c) Sei q′ = p^{m}. Folgern Sie aus (b):

𝔽_{q′} ⊂ 𝔽_{q} ⇔ m|n.

(d) Das Polynom f = X^{4} + X + 1 ∈ 𝔽_{2}[X] ist irreduzibel in 𝔽_{2}. Bezeichnet α eine Nullstelle von f, so ist dann der Körper 𝔽_{2}[α] ein Körper mit 16 Elementen. Schreiben Sie alle Elemente des eindeutigen Teilkörpers mit 4 Elementen als Polynome in α.

Aufgabe 5: Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring mit Quotientenkörper K und u, v, n ∈ R mit n = uv ≠ 0. Zeigen Sie: Jedes Element aus K der Form \frac{m}{n}, mit m ∈ R, kann man schreiben als

\frac{m}{n} = \frac{a}{u} + \frac{b}{v} ,

mit a, b ∈ R.

Gilt diese Aussage auch für alle faktoriellen Ringe?

Aufgabe 6: Sei G ⊂ S_{4} die von den zwei Permutationen

σ = (1 2 3 4), τ = (2 4)

erzeugte Untergruppe. Zeigen Sie:

(a) Die kanonische Operation von G auf der Menge {1, 2, 3, 4} ist transitiv.

(b) Die von σ erzeugte Untergruppe N = ⟨σ⟩ ist ein Normalteiler von G. Bestimmen Sie die Ordnungen |N|, |G/N| und |G|.

(c) Es gibt einen Normalteiler H ⊲ G mit τ ∈ H und |H| = 4. Ist H eine zyklische Gruppe?

(d) Bestimmen Sie die Untergruppe H ∩ N ⊂ G.

Was hat die Gruppe G mit dem regelmässigen Viereck (Quadrat) zu tun?

Aufgabe 7: Sei

f := X^{4} − 2 = ∏_{j=1}^{4}(X − α_{j}) ∈ ℚ[X],

wobei α_{1} = \sqrt[4]{2} ∈ ℝ die einzige reelle Nullstelle von f ist und

α_{j} = e^{2πi(j−1)/4} · α_{1}, j = 1, …, 4.

Sei L ⊂ ℂ der Zerfällungskörper von f. Wir fassen die Galois-Gruppe G = Gal(L/ℚ) als Untergruppe von S_{4} auf, vermöge der Operation von G auf der Menge der Nullstellen α_{j}. Zeigen Sie:

(a) L = ℚ[i, \sqrt[4]{2}].

(b) Es gilt [L : ℚ] = 8. (Hinweis: betrachte den Teilkörper ℚ[\sqrt[4]{2}] ⊂ L.)

(c) Der Automorphismus z = x+iy ↦ z̄ = x−iy von ℂ induziert ein Element τ ∈ G. Aufgefasst als Permutation ist τ = (2 4).

(d) Das Polynom f ist auch über dem Körper ℚ[i] ⊂ L irreduzibel. (Hinweis: benutze (b).)

(e) Die Galoisgruppe G enthält die Permutation σ = (1 2 3 4). Der Fixkörper der von σ erzeugten Untergruppe N = ⟨σ⟩ ist L^{N} = ℚ[i]. (Hinweis: benutzen Sie (d)).

(f) Die Galoisgruppe G ist von den beiden Elementen σ, τ erzeugt (und damit identisch mit der in Aufgabe 6 studierten Gruppe).

(g) Bestimmen Sie den Fixkörper der Untergruppen H und H ∩ N (H ist definiert wie in Aufgabe 6).

Zur Teilnahme an der Scheinklausur müssen Sie auf den Übungblättern 1 bis 12 mindestens 60 Punkte erzielt haben. Sollten Sie dieses Ziel verfehlt und trotzdem mindestens 50 Punkte erreicht haben, können Sie evtl. durch Bearbeitung dieses Übungsblattes doch noch die Berechtigung zur Teilnahme erreichen. Geben Sie in diesem Fall ihre Lösungen am Donnerstag, den 9.2. bei Herrn Martin ab (vor der Übung!).