WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

2. Übungsblatt

Aufgabe 1: (3 P) Die folgenden vier Gruppen haben alle 12 Elemente:

• G_{1} := ℤ/ℤ · 12,

• G_{2} := ℤ/ℤ · 6 × ℤ/ℤ · 2,

• G_{3} := D_{6} (siehe 1. Übungsblatt, Aufgabe 3).

• G_{4} := A_{4}.

Zeigen Sie, dass alle diese Gruppen paarweise nicht isomorph sind. (Hinweis: welche dieser Gruppen sind kommutativ? Was sind die Ordnungen der Elemente von G_{i}?)

Aufgabe 2: (1+1+1+1=4 P) Sei n ≥ 3. Der Typ einer Permutation σ ∈ S_{n} sei definiert als die sortierte Liste Z(σ) der Zykellängen von σ. Z.B. für n = 5 und σ = (1 2) (3 4) ist Z(σ) = [1, 2, 2]. Zeigen Sie:

(a) Ist Z(σ) = [a_{1}, …, a_{r}] so ist die Ordnung von σ das kleinste gemeinsame Vielfache von a_{1}, …, a_{r}.

(b) Zwei Elemente σ, τ ∈ S_{n} sind genau dann konjugiert in S_{n} (d.h. σ = ρ τρ^{−1} für ein ρ ∈ S_{n}), wenn Z(σ) = Z(τ).

(c) Nun sei n ungerade. Dann gibt es genau zwei verschiedene Konjugiertenklassen in der alternierenden Gruppe A_{n}, deren Elemente vom Typ Z(σ) = [n] sind.

(d) Sind die Elemente σ = (1 2 3 4 5 6 7) und τ = (2 3 7 5 4 1 6) in A_{7} konjugiert?

Aufgabe 3: (2+3=5 P)

(a) Bestimmen Sie alle Konjugiertenklassen in der Gruppe A_{4}, und für jede solche Klasse die Anzahl ihrer Elemente.

(b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 4 Seiten eines Tetraeders entweder grün, rot oder blau zu färben? Dabei betrachte man zwei Färbungen als äquivalent, wenn man die eine in die andere durch eine Drehsymmetrie des Tetraeders überführen kann.

Abgabe: am Donnerstag, den 10.11. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).