WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

3. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1=3 P) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:

(a) Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Dann ist die Abbildung G × G/H → G/H, die einem Paar (g_{1}, g_{2}H) die Nebenklasse g_{1}g_{2}H zuordnet, eine transitive Operation von G auf der Menge G/H. Was ist der Stabilisator einer Nebenklasse aH ∈ G/H?

(b) Ist X eine Menge und G × X → X eine transitive Operation von G auf X, so gibt es eine Untergruppe H ⊂ G und eine Bijektion α : X → G/H so, dass

g · α(x) = α(g · x),

für alle x ∈ X und g ∈ G. (Die Operation von G auf G/H auf der linken Seite dieser Gleichheit sei dabei wie in (a) definiert.)

(c) Eine transitive Operation von G auf einer Menge X heiße normal, wenn für alle x, y ∈ X die Stabilisatoren gleich sind, G_{x} = G_{y}. Zeigen Sie: eine Untergruppe H ⊂ G ist genau dann ein Normalteiler, wenn die Operation von G auf G/H normal ist.

Aufgabe 2: (1/2+1/2+1+2+1=5 P) Sei G eine Gruppe. Das Zentrum von G ist definiert als die Teilmenge

Z_{G} := { g ∈ G | gh = hg ∀ h ∈ G }.

Zeigen Sie:

(a) Das Zentrum ist eine Untergruppe von G und ein Normalteiler.

(b) Die Abbildung G × G → G, (g, h) ↦ ghg^{−1}, ist eine Operation von G auf sich selbst. Die Bahnen dieser Operation sind genau die Konjugiertenklassen von G.

(c) Ein Element g ∈ G liegt im Zentrum von G genau dann, wenn die Konjugiertenklasse von g aus genau einem Element besteht.

(d) Angenommen, G ist endlich und hat p^{n} Elemente, wobei p eine Primzahl ist und n ≥ 1. Dann ist das Zentrum von G nichttrivial, d.h. es hat mehr als nur ein Element. (Hinweis: benutzen Sie (a)-(c) und die Bahnengleichung.)

(e) Geben Sie eine nichttriviale Gruppe an, deren Zentrum trivial ist.

Aufgabe 3: (4 P) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: eine Gruppe G mit p^{2} Elementen ist isomorph zu einer der beiden folgenden Gruppen:

• ℤ/ℤ · p^{2},

• ℤ/ℤ · p × ℤ/ℤ · p.

(Hinweis: benutzen Sie Aufgabe 2 (d).)

Abgabe: am Donnerstag, den 17.11. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).