WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

4. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+2+1=4 P)

(a) Sei G eine Gruppe und H ⊲ G ein Normalteiler. Zeigen Sie: N ist (als Menge) disjunkte Vereinigung von Konjugiertenklassen von G.

(b) Bestimmen Sie alle Konjugiertenklassen von A_{5} (die Angabe eines Vertreters für jede Klasse reicht) und die Anzahl der Elemente jeder Klasse.

(c) Zeigen Sie: A_{5} ist eine einfache Gruppe, d.h. H = {e} und H = A_{5} sind die einzigen Normalteiler. (Hinweis: benutzen Sie (a) und (b).)

Aufgabe 2: (1+1+2=4 P)

(a) Finden Sie ganze Zahlen a, b ∈ ℤ mit 5a + 7b = 1.

(b) Sei G = ℤ · 1/5 + ℤ · 1/7 die von den Brüchen 1/7 und 1/5 erzeugte Untergruppe von (ℚ, +). Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist, und finden Sie einen Erzeuger.

(c) Zeigen Sie, dass die Gruppen (ℚ, +) und (ℚ^{×}, ·) nicht endlich erzeugt sind.

Aufgabe 3: (1+2+1=4 P)

(a) Sei G := ℤ und H ⊂ G eine Untergruppe. Zeigen Sie: H is ein direkter Faktor (d.h. es existiert eine Untergruppe H′ ⊂ ℤ mit G = H ⊕H′) genau dann, wenn H = {0} oder H = ℤ. Hinweis: benutzen Sie die Klassifikation aller Untergruppen von ℤ (Satz 1.7.3 bei Lütkebohmert).

(b) Sei x := (a, b) ∈ ℤ^{2} und G := ℤ · x ⊂ ℤ^{2} die von x erzeugte zyklische Untergruppe. Zeigen Sie: H ist genau dann ein direkter Faktor, wenn a und b teilerfremd sind. Hinweis: sind a und b teilerfremd, so gibt es c, d ∈ ℤ mit ac + bd = 1.

(c) Für a := 17 und b := 13: finde ein Komplement H′ ⊂ ℤ^{2} zu H = ℤ·x ⊂ ℤ^{2}.

Abgabe: am Donnerstag, den 24.11. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).