WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

5. Übungsblatt

Aufgabe 1: (2+1+1=4 P) Die abelsche Gruppe G sei gegeben durch drei Erzeuger x, y, z und die Relationen

3x − 2y + 4z = 0,
2x − 3y + z = 0,
8x − 7y + 9z = 0.

(a) Bestimmen Sie die Elementarteiler d_{1}, …, d_{m} und den Rang von G.

(b) Bestimmen Sie ein Element von G mit der Ordnung 5 (als Linearkombination von x, y, z).

(c) Wieviele Elemente der Ordnung 5 gibt es in G?

Aufgabe 2: (1+1=2 P) Sei G eine abelsche Gruppe der Ordnung 100. Zeigen Sie:

(a) G enthält ein Element der Ordnung 10.

(b) Wenn G kein Element der Ordnung > 10 enthält, dann gilt

G ≅ ℤ/ℤ · 10 × ℤ/ℤ · 10.

Aufgabe 3: (1+1+1=3 P)

(a) Zeigen Sie: jede endlich erzeugte Untergruppe von (ℚ, +) ist zyklisch.

(b) Zeigen Sie: jede endlich erzeugte Untergruppe von (ℚ^{×}, ·) ist frei.

(c) Bestimmen Sie eine Untergruppe von (ℚ^{×}, ·) vom Rang 5 (durch Angabe einer Basis).

Aufgabe 4: (3 P) Sei G = (ℤ/ℤ · 70)^{×}. Bestimmen Sie die Elementarteiler von G, und finden Sie ein Element der Ordnung 12. (Hinweis: benutzen Sie den Chinesischen Restsatz.)

Abgabe: am Donnerstag, den 1.12. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).